Hilbert-Schmidt (opérateur de)

Prenons deux directions perpendiculaires de longueur 1. Un opérateur envoie la première sur un vecteur de longueur 3 et la seconde sur un vecteur de longueur 4. La quantité de Hilbert-Schmidt rassemble ces deux effets en additionnant leurs carrés : 9 + 16 = 25, puis en prenant la racine carrée, soit 5.

Dans un espace ayant une infinité de directions, le même bilan porte sur toute une base orthonormée. L'opérateur est de Hilbert-Schmidt lorsque ce total reste fini, quel que soit le choix de cette base.

Soit H un espace de Hilbert et T un opérateur linéaire continu de H dans H. On choisit une base orthonormée de H, dont les vecteurs sont notés e_i. L'opérateur T est dit de Hilbert-Schmidt lorsque la somme des carrés des normes de toutes les images T(e_i) est finie. Sa norme de Hilbert-Schmidt est définie par :

La valeur obtenue ne dépend pas de la base orthonormée choisie. La finitude de cette norme est donc une propriété de T, et non des coordonnées utilisées. Tout opérateur de Hilbert-Schmidt est compact. Ces opérateurs constituent aussi un idéal bilatère : si T est de Hilbert-Schmidt et si A est un opérateur linéaire continu sur H, alors les compositions AT et TA sont encore de Hilbert-Schmidt. En dimension finie, la somme contient un nombre fini de termes : tout opérateur convient, et la norme obtenue est la norme de Frobenius de sa matrice dans une base orthonormée.

L'espace H fournit les vecteurs, leur produit scalaire et leur norme. La base orthonormée décompose cet espace en directions unitaires deux à deux perpendiculaires. L'opérateur T transforme chacune de ces directions.

Les images T(e_i) dépendent à la fois de l'opérateur et des vecteurs de base. Leurs normes mesurent séparément l'action de T dans chaque direction. La somme quadratique réunit ces contributions sans annulation possible, puis sa racine carrée donne la norme de Hilbert-Schmidt.

La base sert au calcul, mais son choix ne fait pas partie de l'objet : une autre base orthonormée produit le même total. Ces données suffisent à décider si T est de Hilbert-Schmidt et à calculer sa norme lorsqu'il l'est.

Dans le plan euclidien, on considère la base orthonormée formée des vecteurs e₁ et e₂. L'opérateur T est représenté dans cette base par une matrice diagonale : le premier coefficient vaut 3 et le second vaut 4. Ainsi, T(e₁) a pour longueur 3 et T(e₂) a pour longueur 4.

1. Les carrés des deux longueurs sont 3² = 9 et 4² = 16.
2. Leur somme vaut 9 + 16 = 25.
3. La racine carrée de cette somme vaut 5.

Le calcul complet s'écrit : $\parallel T{\parallel }_{HS}=\sqrt{\parallel T(e_1){\parallel }^2+\parallel T(e_2){\parallel }^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\backslash lVert\; T\backslash rVert\_\{HS\}=\backslash sqrt\{\backslash lVert\; T(e\_1)\backslash rVert^2+\backslash lVert\; T(e\_2)\backslash rVert^2\}=\backslash sqrt\{3^2+4^2\}=5$. La figure rend visible ce bilan quadratique. Pour contrôler le résultat, on peut aussi additionner les carrés des coefficients de la matrice : 3² + 0² + 0² + 4² donne encore 25.

Pour une matrice de taille finie écrite dans des bases orthonormées, on additionne les carrés des valeurs absolues de tous ses coefficients, puis on prend la racine carrée. Cette norme de Frobenius donne directement la norme de Hilbert-Schmidt.

Pour un opérateur diagonal sur l'espace de Hilbert ℓ² des suites de carré sommable, on regarde ses coefficients diagonaux. La norme de Hilbert-Schmidt est finie exactement lorsque la somme de leurs carrés converge. Ce critère remplace avantageusement le calcul image par image.

Si l'on veut seulement contrôler l'étirement maximal d'un vecteur, la norme d'opérateur est l'outil adapté. La norme de Hilbert-Schmidt répond à une autre question : elle cumule l'action de l'opérateur sur toutes les directions d'une base orthonormée.

Opérateur continu. Tout opérateur de Hilbert-Schmidt est continu, mais la réciproque échoue en dimension infinie. L'identité est continue, tandis que la somme des carrés des normes des images d'une base orthonormée contient une infinité de termes égaux à 1.

Opérateur compact. Tout opérateur de Hilbert-Schmidt est compact, mais un opérateur compact peut ne pas être de Hilbert-Schmidt. Sur l'espace ℓ² des suites de carré sommable, l'opérateur diagonal de coefficients 1/√n est compact, alors que la somme de leurs carrés est la série harmonique, qui diverge.

Norme d'opérateur. Pour la matrice diagonale de coefficients 3 et 4, la norme d'opérateur vaut 4, l'étirement maximal, tandis que la norme de Hilbert-Schmidt vaut 5, le bilan quadratique des deux directions.

Une base quelconque ne convient pas. Le critère utilise une base orthonormée. Avec des vecteurs seulement indépendants, leurs longueurs et leurs angles faussent la somme ; il faut d'abord les orthonormaliser ou employer une formule adaptée aux coordonnées choisies.

La dimension finie masque la condition. Une somme ayant un nombre fini de termes est toujours finie. Dans le plan de l'exemple, toute matrice est donc de Hilbert-Schmidt ; le caractère sélectif du critère apparaît seulement en dimension infinie.

Des coefficients qui tendent vers zéro ne suffisent pas. Sur l'espace ℓ² des suites de carré sommable, chaque coefficient diagonal 1/√n tend bien vers zéro, mais leurs carrés valent 1/n et leur somme diverge. Il faut tester la convergence de la série des carrés, pas la seule limite des termes.

L'article espace de Hilbert précise le cadre où prennent sens les bases orthonormées, les normes et les opérateurs étudiés ici.

L'entrée norme replace la norme de Hilbert-Schmidt parmi les outils qui mesurent la taille d'un vecteur, d'une matrice ou d'un opérateur.

L'entrée valeur singulière ouvre une autre lecture de la taille d'un opérateur, direction par direction.