Logique et ensemblesNotion · Glossaire
Totale (famille)
Une famille totale dans un espace vectoriel topologique est une famille dont l'espace vectoriel engendré est dense dans cet espace. Autrement dit, tout élément de l'espace peut être approché arbitrairement bien par des combinaisons linéaires finies d'éléments de la famille. Dans un espace de Hilbert, une famille totale est également appelée famille complète, et la notion coïncide avec celle de base de Hilbert si la famille est de plus orthonormale.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer l'espace engendré de sa fermeture.
- Vérifier la totalité par le critère de l'orthogonal dans un espace de Hilbert.
- Suivre une approximation calculée dans ℓ².
- Séparer famille totale, famille orthonormale et base algébrique.
En clair
Imaginez une suite infinie de nombres que l'on veut reproduire avec seulement quelques curseurs. Une famille totale fournit ces curseurs : en en combinant un nombre fini, on peut s'approcher de la suite aussi précisément qu'on le souhaite.
Il n'est pas nécessaire d'atteindre chaque objet exactement en une seule combinaison finie. Ce qui compte est de pouvoir rendre l'écart aussi petit que voulu en utilisant davantage d'éléments de la famille.
Définition
Soit E un espace vectoriel topologique et F une famille d'éléments de E. L'espace vectoriel engendré par F, noté Vect(F), rassemble toutes les combinaisons linéaires finies d'éléments de F. La famille F est totale dans E lorsque la fermeture de cet espace engendré est E : .
Cette égalité signifie que tout élément de E est limite d'un filet de combinaisons linéaires finies. Lorsque la topologie est métrisable, on peut utiliser une suite. Dans un espace normé, cela revient à dire que, pour tout élément x et toute précision strictement positive ε, il existe une combinaison finie y telle que la distance de x à y soit inférieure à ε.
Dans un espace de Hilbert H, une famille totale est aussi dite complète. Elle est totale exactement lorsque le seul vecteur orthogonal à chacun de ses éléments est le vecteur nul. Si cette famille est en outre orthonormale, elle constitue une base de Hilbert.
Un exemple, pas à pas
Dans l'espace ℓ2 des suites dont la somme des carrés converge, considérons les vecteurs en, qui valent 1 au rang n et 0 ailleurs. Prenons la suite x = (1, 1/2, 1/4, 1/8, …). La somme de ses carrés vaut 4/3, donc x appartient bien à ℓ2.
Données : les trois premiers coefficients sont 1, 1/2 et 1/4 ; le coefficient suivant vaut 1/8 ; chaque coefficient est la moitié du précédent.
Données : les trois premiers coefficients sont 1, 1/2 et 1/4 ; le coefficient suivant vaut 1/8 ; chaque coefficient est la moitié du précédent.
1. On conserve les trois premières coordonnées et l'on remplace les suivantes par zéro. Cette troncature est une combinaison linéaire finie des vecteurs en.
2. Le carré de la distance entre x et cette troncature est la somme des carrés des coordonnées restantes. La série est géométrique :
3. La distance vaut donc exactement 1/(4√3), soit environ 0,144. En conservant aussi la quatrième coordonnée, elle devient 1/(8√3), soit environ 0,072 : elle est divisée par deux. En poursuivant les troncatures, l'écart tend vers zéro. Ce contrôle prouve que les vecteurs en forment une famille totale dans ℓ2.
En pratique
Pour approcher un élément d'un espace, on choisit une famille totale puis une combinaison finie adaptée à la précision voulue. Dans ℓ2, les troncatures sur les vecteurs en sont préférables à une famille qui omet e1 dès que la première coordonnée peut être non nulle.
Pour vérifier qu'une famille est totale dans un espace de Hilbert, on peut tester son orthogonal. Si un vecteur orthogonal à toute la famille doit nécessairement être nul, la famille est totale ; si l'on trouve un vecteur non nul, elle ne l'est pas.
Lorsque la famille est orthonormale et totale, les produits scalaires donnent les coefficients de l'approximation. Avec une famille totale non orthonormale, la densité subsiste, mais le choix des coefficients peut demander une autre méthode.
À ne pas confondre
Base algébrique. Une base algébrique fournit à chaque vecteur une représentation exacte par une combinaison finie. Une famille totale promet seulement une approximation arbitrairement précise. Dans ℓ2, les vecteurs en sont totaux, mais la suite (1, 1/2, 1/4, …) n'est aucune de leurs combinaisons finies.
Famille orthonormale. L'orthonormalité décrit les longueurs et les angles ; la totalité décrit la densité de l'espace engendré. La famille réduite au seul vecteur e1 est orthonormale dans ℓ2, mais e2 reste impossible à approcher avec ses multiples.
Partie dense. Une famille totale n'a pas besoin d'être elle-même dense. Ce sont ses combinaisons linéaires finies qui le sont. Ainsi, les seuls vecteurs en ne s'approchent pas de x, tandis que leurs sommes pondérées le peuvent.
Limites et pièges
Oublier la fermeture. Le symptôme est d'exiger que chaque élément appartienne déjà à Vect(F). Il faut au contraire vérifier qu'il peut être approché arbitrairement bien. Dans l'exemple, x n'est pas une combinaison finie des en, mais leurs troncatures convergent vers x.
Oublier l'espace ambiant ou sa topologie. La densité dépend de la notion de voisinage, donc de la topologie choisie. Il faut toujours préciser dans quel espace et pour quelle topologie la famille est déclarée totale.
Déduire une base de Hilbert trop tôt. Une famille totale peut contenir des répétitions ou des dépendances. Par exemple, e1, e1, e2, e3, … reste totale dans ℓ2, mais elle n'est pas orthonormale. Il faut contrôler séparément l'orthonormalité.
Cas de dimension finie. Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, tout sous-espace vectoriel est fermé. Une famille y est donc totale si et seulement si elle engendre exactement tout l'espace ; l'approximation n'ajoute aucun vecteur manquant.
Pour aller plus loin
L'article espace de Hilbert précise le cadre où l'orthogonalité caractérise la totalité et où une famille orthonormale totale devient une base de Hilbert.
La fiche espace vectoriel revient sur les combinaisons linéaires et l'espace engendré, qui constituent le socle algébrique de la définition.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres