Base hilbertienne

Dans un plan, deux flèches unitaires perpendiculaires donnent deux directions indépendantes. Pour décrire une troisième flèche, on mesure sa projection sur chacune : ces deux mesures sont ses coordonnées.

Une base hilbertienne étend cette idée aux espaces de Hilbert, qui peuvent avoir une infinité de directions. La famille ne laisse échapper aucune direction : en additionnant les projections, on retrouve le vecteur visé avec une erreur qui tend vers zéro en norme.

Soit un espace de Hilbert, noté H, muni d'un produit scalaire. Une base hilbertienne est une famille de vecteurs de H qui remplit deux conditions. Elle est orthonormée : chaque vecteur a pour norme 1 et deux vecteurs distincts ont un produit scalaire nul. Elle est totale : l'adhérence du sous-espace formé par leurs combinaisons linéaires finies est H tout entier. Autrement dit, ces combinaisons approchent tout vecteur de H aussi précisément qu'on le souhaite.

Lorsque la base est dénombrable, on note ses vecteurs e₁, e₂, … On adopte ici la convention selon laquelle le produit scalaire est linéaire en sa première variable. Pour un vecteur x de H, le nombre donné par le produit scalaire de x avec e_n est son n-ième coefficient. La reconstruction et l'identité de Parseval s'écrivent : La première série converge pour la norme de H, pas nécessairement point par point si les vecteurs sont des fonctions.

En dimension finie, une base hilbertienne est simplement une base orthonormée et les sommes sont finies. Dans un espace non séparable, une base hilbertienne peut être non dénombrable ; la notation par une suite n'est alors plus adaptée, même si chaque vecteur n'a qu'un nombre au plus dénombrable de coefficients non nuls.

Dans le plan euclidien ℝ², prenons les deux vecteurs unitaires e₁ = (1, 0) et e₂ = (0, 1), ainsi que le vecteur x = (3, 4). Les deux vecteurs de base sont perpendiculaires. La figure matérialise la décomposition de x suivant ces deux directions.

1. Le produit scalaire de x avec e₁ vaut 3 : le premier coefficient est donc 3.
2. Le produit scalaire de x avec e₂ vaut 4 : le second coefficient est donc 4.
3. On multiplie chaque vecteur de base par son coefficient, puis on additionne les deux projections.

4. Pour contrôler le calcul, le carré de la norme de x vaut 3² + 4² = 25. La somme des carrés des coefficients vaut elle aussi 9 + 16 = 25. L'identité de Parseval est donc vérifiée, et la norme de x vaut 5.

Pour décomposer un vecteur, on calcule ses produits scalaires avec les vecteurs de la base. Dans l'exemple de x = (3, 4), ce geste livre directement les coefficients 3 et 4, sans résoudre de système linéaire.

Pour approcher un objet dans un espace de dimension infinie, on conserve un nombre fini de coefficients. On augmente ce nombre jusqu'à ce que la norme de la partie omise soit assez petite pour l'usage visé ; une égalité point par point ne serait pas le bon critère général.

Dans les séries de Fourier, les fonctions de la base jouent le rôle des directions e₁ et e₂ du plan. Les coefficients de Fourier mesurent les projections. Une autre famille est préférable lorsqu'elle concentre l'information recherchée dans moins de coefficients.

Base algébrique, ou base de Hamel. Elle exige que chaque vecteur soit une combinaison linéaire finie de vecteurs de base. Une base hilbertienne autorise une série convergente en norme. Dans un espace de Hilbert de dimension infinie, une décomposition ayant une infinité de coefficients non nuls tranche immédiatement.

Famille orthonormée. L'orthogonalité et la norme 1 ne suffisent pas : il faut aussi la totalité. Dans ℝ², la seule famille formée de (1, 0) est orthonormée, mais elle ne peut pas approcher (0, 1) ; ce n'est donc pas une base hilbertienne du plan.

Procédé de Gram-Schmidt. Il s'agit d'une méthode qui transforme une famille finie ou dénombrable ordonnée, linéairement indépendante, en famille orthonormée. Le résultat n'est une base hilbertienne de H que si la famille obtenue est totale dans H.

Une suite ne suffit pas toujours. Écrire e₁, e₂, … suppose une base dénombrable, donc un espace séparable. Si l'espace ne l'est pas, il faut indexer la famille par un ensemble plus général et interpréter les sommes comme la limite des sommes finies.

Convergence en norme ne signifie pas convergence point par point. Pour une base de fonctions, les sommes partielles peuvent se rapprocher de la fonction au sens de la norme sans converger en chaque point. Il faut annoncer le mode de convergence réellement utilisé.

Une troncature n'est pas la reconstruction exacte. Garder les N premiers coefficients donne une approximation, sauf si tous les coefficients suivants sont nuls. Le contrôle pertinent est le carré de l'erreur : $\parallel x-{\sum }_{n=1}^N⟨x,e_n⟩e_n{\parallel }^2={\sum }_{n>N}\mathrm{\mid }⟨x,e_n⟩{\mathrm{\mid }}^2\backslash lVert\; x-\backslash sum\_\{n=1\}^\{N\}\backslash langle\; x,e\_n\backslash rangle\; e\_n\backslash rVert^2=\backslash sum\_\{n>N\}|\backslash langle\; x,e\_n\backslash rangle|^2$.

L'article espace de Hilbert précise le cadre complet dans lequel la norme et les projections rendent cette décomposition possible.

La fiche série de Fourier montre comment une base de fonctions transforme une fonction en une suite de coefficients.