Histoire et cultureNotion · Glossaire
Schmidt Erhard
Erhard Schmidt est un mathématicien associé à la fondation de l’analyse fonctionnelle moderne et à la méthode d’orthogonalisation de Gram-Schmidt. Dans un espace muni d’un produit scalaire, celle-ci transforme une famille de vecteurs linéairement indépendants en une famille orthonormée engendrant le même sous-espace, en retirant successivement les projections sur les directions déjà construites puis en normalisant. Elle fournit ainsi des bases qui simplifient projections et calculs de composantes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les principaux repères biographiques fournis sur Erhard Schmidt.
- Relier Schmidt à l’analyse fonctionnelle moderne et à la méthode de Gram-Schmidt.
- Refaire une orthonormalisation complète de deux vecteurs et contrôler le résultat.
- Reconnaître les conditions qui rendent la normalisation possible.
En clair
En 1936, à Oslo, Erhard Schmidt conduit la délégation allemande au Congrès international des mathématiciens. Né en 1876 à Dorpat, aujourd’hui Tartu en Estonie, il travaille ensuite à Berlin.
Son nom reste attaché à un geste mathématique concret : redresser successivement des directions pour qu’elles deviennent perpendiculaires, puis leur donner une longueur égale à 1. La méthode de Gram-Schmidt construit ainsi une base orthonormée du sous-espace engendré par les vecteurs initiaux, outil essentiel des espaces de Hilbert.
Définition
Erhard Schmidt (1876–1959) est un mathématicien allemand associé à la naissance de l’analyse fonctionnelle abstraite moderne, aux côtés de David Hilbert. Né à Dorpat, aujourd’hui Tartu en Estonie, il meurt à Berlin après avoir dirigé pendant de nombreuses années le département de mathématiques de l’université de Berlin. Il reste en Allemagne durant toute la période nazie malgré ses origines juives et conduit, en 1936, la délégation allemande au Congrès international des mathématiciens d’Oslo.
Sa contribution la plus immédiatement identifiable est la méthode d’orthogonalisation de Gram-Schmidt. Dans un espace muni d’un produit scalaire, elle part d’une famille de vecteurs linéairement indépendants. Chaque nouveau vecteur est débarrassé de ses projections sur les directions déjà construites, puis normalisé. On obtient une famille orthonormée qui engendre le même sous-espace que la famille initiale.
Pour des vecteurs initiaux notés v1, …, vn, les vecteurs orthogonaux uk et les vecteurs unitaires ek sont définis successivement par :
La division par la norme exige que chaque uk soit non nul, ce que garantit l’indépendance linéaire de la famille initiale.
Un exemple, pas à pas
Dans le plan euclidien, on part de deux vecteurs : v1 = (1, 1) et v2 = (1, 0). Ils sont linéairement indépendants. Le produit scalaire est le produit scalaire usuel et la norme mesure la longueur.
1. On conserve d’abord le premier vecteur, puis on le normalise : .
2. La projection de v2 sur la première direction vaut : .
3. On soustrait cette projection : . Après normalisation, .
4. Le contrôle est refaisable : les deux vecteurs ont une norme égale à 1 et leur produit scalaire vaut 0. Ils forment donc une base orthonormée du plan.
La figure superpose les deux directions initiales, la projection retirée et les deux directions finales. Elle rend visible le changement opéré sans modifier le sous-espace engendré.
En pratique
Pour construire un repère adapté à des directions qui ne sont pas perpendiculaires, on applique Gram-Schmidt. Si les directions sont déjà orthonormées, aucun redressement n’est nécessaire : il suffit de les conserver.
Dans un calcul de projection, une base orthonormée simplifie la lecture des composantes : chaque coefficient s’obtient par un produit scalaire. Une base quelconque reste possible, mais elle demande de résoudre les relations entre ses vecteurs.
Pour tester le résultat, on contrôle deux propriétés observables : chaque vecteur final a une norme égale à 1, et deux vecteurs finaux distincts ont un produit scalaire nul.
À ne pas confondre
Erhard Schmidt et la méthode de Gram-Schmidt. Le premier est le mathématicien né en 1876 ; la seconde est un procédé d’orthogonalisation auquel son nom est attaché. Une date ou une fonction universitaire concerne la personne, tandis qu’une suite de projections concerne la méthode.
Famille orthogonale et famille orthonormée. Dans une famille orthogonale, les vecteurs distincts ont un produit scalaire nul. Elle n’est orthonormée que si chaque vecteur a aussi une norme égale à 1. Ainsi, (1, 1) et (1, −1) sont orthogonaux, mais pas orthonormés.
Limites et pièges
Dépendance linéaire. Si un vecteur initial est une combinaison des précédents, la soustraction des projections donne le vecteur nul. Sa norme vaut alors 0 et la normalisation est impossible. Il faut retirer ce vecteur redondant ou sélectionner une famille indépendante.
Ordre des vecteurs. Le premier vecteur fixe la première direction conservée. Changer l’ordre d’entrée peut donc produire une autre base orthonormée, même si le sous-espace engendré reste le même. Il faut fixer l’ordre lorsque le résultat doit être reproductible.
Cadre nécessaire. Parler de projection orthogonale suppose un produit scalaire, et parler de normalisation suppose une norme issue de ce produit. Dans un espace vectoriel dépourvu de produit scalaire choisi, il faut d’abord préciser cette structure.
Pour aller plus loin
algorithme de Gram-Schmidt — Suivre le procédé indépendamment du portrait de Schmidt et approfondir chaque étape d’orthonormalisation.
analyse fonctionnelle — Situer le domaine abstrait moderne dont Schmidt et Hilbert sont considérés comme des fondateurs.
espace de Hilbert — Approfondir le cadre dans lequel les bases orthonormées jouent un rôle fondamental.
Hilbert David — Découvrir l’autre mathématicien cité avec Schmidt dans la fondation de l’analyse fonctionnelle abstraite moderne.
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