AnalyseNotion · Glossaire
Grossière (topologie)
La topologie grossière (ou topologie indiscrète) sur un ensemble X est la topologie la plus pauvre possible : elle ne contient que deux ouverts, l'ensemble vide et X lui-même. C'est la topologie la moins fine parmi toutes les topologies sur X. Dans cette topologie, toute fonction de n'importe quel espace topologique vers X est continue. Cependant, un espace muni de la topologie grossière n'est pas séparé (sauf s'il est vide ou réduit à un point), et les suites convergent vers tous les points.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les deux seuls ouverts d’une topologie grossière.
- Vérifier pourquoi toute application vers un espace grossier est continue.
- Expliquer la non-séparation et la convergence vers tous les points.
- Distinguer les topologies grossière et discrète.
En clair
Prenons trois points nommés A, B et C. Avec la topologie grossière, on ne peut déclarer ouverte que la totalité des trois points, ou aucun point. Impossible d’isoler A, B ou même la paire A et B par un ouvert.
Cette structure fournit donc le minimum d’information topologique. Elle rend tous les points indiscernables par leurs voisinages : chaque point a pour seul voisinage ouvert l’ensemble entier.
Définition
Soit X un ensemble. Une topologie sur X est une famille de sous-ensembles, appelés ouverts, qui contient l’ensemble vide ∅ et X, et qui est stable par unions quelconques et intersections finies. La topologie grossière, aussi appelée topologie indiscrète, est la famille {∅, X}. Elle satisfait ces conditions et ne peut perdre aucun ouvert : toutes les topologies sur X doivent déjà contenir ∅ et X. Elle est donc la topologie la moins fine sur X.
Si Y est un espace topologique et si f est une application de Y vers X muni de la topologie grossière, f est toujours continue. En effet, les seuls ouverts dont il faut examiner l’image réciproque sont ∅ et X, éventuellement égaux lorsque X est vide. Leurs images réciproques sont respectivement ∅ et Y, qui sont ouverts dans Y.
Tout point de X a X pour seul voisinage ouvert. Par conséquent, toute suite à valeurs dans X converge vers chacun des points de X. Si X possède au moins deux points, deux points distincts ne peuvent pas avoir de voisinages ouverts disjoints : l’espace n’est pas séparé. Les ensembles vide et réduit à un point sont les seuls cas séparés.
Un exemple, pas à pas
On munit l’ensemble X = {A, B, C} de la topologie grossière. Les données sont les trois points de X et la famille d’ouverts {∅, X}. Prenons aussi un espace topologique Y et une application quelconque f de Y vers X.
1. On vérifie les ouverts de X : parmi ses huit sous-ensembles, seuls ∅ et {A, B, C} appartiennent à la topologie.
2. L’image réciproque de ∅ par f est ∅, tandis que l’image réciproque de X est Y. Ces deux ensembles sont ouverts dans Y. L’application f est donc continue, quelles que soient ses valeurs.
3. Considérons la suite A, B, C, A, B, C, puis répétée indéfiniment. Pour chacun des points A, B et C, le seul voisinage ouvert à tester est X. Tous les termes de la suite appartiennent à X : la suite converge donc simultanément vers A, B et C.
Le contrôle est immédiat : toute tentative de séparer deux points par des ouverts échoue, puisque le seul ouvert qui contient un point est X.
En pratique
Pour vérifier qu’une topologie est grossière, on dresse la liste de ses ouverts. Si elle se réduit exactement à ∅ et à l’ensemble entier, le diagnostic est établi. Dès qu’un sous-ensemble propre non vide est ouvert, il faut employer une topologie plus fine.
Pour tester la continuité d’une application vers un espace grossier, aucun calcul point par point n’est nécessaire. Il suffit de constater que les images réciproques des seuls ouverts ∅ et X sont l’ensemble vide et l’espace de départ.
Pour étudier une convergence, on examine les voisinages ouverts de la limite candidate. Dans un espace grossier non vide, ce test accepte chaque point comme limite de toute suite. Une topologie plus fine devient nécessaire si l’on veut distinguer les comportements locaux.
À ne pas confondre
La topologie discrète est l’exact opposé : tous les sous-ensembles de X y sont ouverts. Sur X = {A, B, C}, elle compte huit ouverts, tandis que la topologie grossière n’en compte que deux. Une application ayant un espace discret pour domaine est toujours continue ; pour la topologie grossière, c’est une application ayant l’espace grossier pour espace d’arrivée qui l’est toujours.
Limites et pièges
Quand X possède au moins deux points, affirmer qu’une suite « a une limite » ne signifie pas que cette limite est unique. Dans la topologie grossière, la même suite converge vers tous les points. Il faut préciser la topologie avant d’interpréter une convergence.
L’absence de séparation disparaît dans les cas charnières |X| = 0 et |X| = 1. Il n’existe alors aucune paire de points distincts à séparer, donc l’espace est séparé. Ce constat ne s’étend pas à |X| ≥ 2.
La continuité automatique ne vaut que pour les applications vers un espace grossier. Une application partant d’un espace grossier vers un espace plus fin peut ne pas être continue : l’image réciproque d’un ouvert propre peut être un sous-ensemble propre non vide, qui n’est pas ouvert dans le domaine.
Pour aller plus loin
La fiche Discrète (topologie) présente la topologie la plus fine, où chaque sous-ensemble est ouvert, et permet de comparer les deux extrêmes.
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