Base d'une topologie

Sur une droite, imaginez une réserve contenant tous les intervalles ouverts. En assemblant autant de ces intervalles que nécessaire, on peut dessiner n'importe quel ouvert usuel, même s'il est formé de plusieurs morceaux séparés.

Cette réserve est une base. Elle évite d'énumérer directement tous les ouverts : quelques formes élémentaires servent de briques, et leurs réunions produisent toute la topologie.

Soit X un ensemble muni d'une topologie, c'est-à-dire d'une collection d'ouverts contenant l'ensemble vide et X, stable par réunions quelconques et par intersections finies. Une famille ℬ d'ouverts est une base de cette topologie lorsque chaque ouvert est une réunion d'éléments de ℬ. Les éléments de ℬ sont appelés ouverts de base.

On peut aussi partir d'une simple famille ℬ de parties de X. Elle définit une base de topologie exactement sous deux conditions : ses éléments recouvrent X et, autour de chaque point commun à deux éléments de base, il existe un troisième élément de base contenu dans leur intersection. En notant B₁, B₂ et B₃ ces éléments et x le point considéré, le second critère s'écrit :Ce critère revient à demander que l'intersection de deux éléments de ℬ soit une réunion d'éléments de ℬ.

La topologie engendrée rassemble alors toutes les réunions d'éléments de ℬ, y compris la réunion vide, qui donne l'ensemble vide. Une même topologie peut posséder plusieurs bases. Sur ℝ, la famille de tous les intervalles ouverts constitue une base de la topologie usuelle.

Prenons la droite réelle X = ℝ et la famille ℬ de tous les intervalles ouverts. Les données choisies sont U = ]−1, 3[, V = ]1, 4[ et l'ouvert en deux morceaux O = ]−1, 3[ ∪ ]4, 5[.

1. Chaque réel x appartient à l'intervalle ouvert ]x − 1, x + 1[. La famille ℬ recouvre donc ℝ.

2. L'intersection des deux intervalles choisis vaut U ∩ V = ]1, 3[. C'est encore un élément de ℬ, ce qui vérifie localement le critère d'intersection.

3. L'ensemble O n'est pas un intervalle, mais il est bien la réunion de deux éléments de ℬ. Une base peut ainsi engendrer des ouverts qui ne lui appartiennent pas.

4. Pour contrôler le mécanisme, choisissez un point de O. Il se trouve dans l'un des deux intervalles annoncés, lui-même contenu dans O. Le résultat est vérifiable point par point : les intervalles ouverts engendrent bien tous les ouverts usuels de ℝ.

Pour décrire la topologie usuelle de ℝ, on travaille avec les intervalles ouverts plutôt qu'avec la collection entière des ouverts. Dès qu'un ensemble se réécrit comme une réunion de tels intervalles, son caractère ouvert est établi.

Pour vérifier qu'une application vers ℝ est continue, il suffit de contrôler que l'image réciproque de chaque intervalle ouvert est ouverte. Ce test remplace le contrôle de tous les ouverts, plus volumineux, parce que les intervalles forment une base.

Pour comparer deux descriptions d'une même topologie, on vérifie que chaque élément de la première base est réunion d'éléments de la seconde, puis réciproquement. Si une seule inclusion est obtenue, les topologies engendrées peuvent être différentes.

Base et topologie. Une base est une famille génératrice ; la topologie est la collection de toutes les réunions de ses éléments. Sur ℝ, ]−1, 3[ ∪ ]4, 5[ est un ouvert de la topologie usuelle, mais ce n'est pas un intervalle et donc pas un élément de la base choisie.

Ouvert de base et ouvert relatif. « De base » indique l'appartenance à la famille génératrice. « Relatif » indique au contraire que l'ouverture est considérée dans un sous-espace. Le critère décisif n'est donc pas le même : famille choisie dans le premier cas, espace ambiant dans le second.

L'ensemble vide n'a pas besoin d'être une brique. Dans la base des intervalles ouverts de ℝ, aucun intervalle n'est vide. Pourtant ∅ appartient à la topologie engendrée, car il correspond à la réunion d'aucun élément de la base.

Recouvrir X ne suffit pas. Sur X = {1, 2, 3}, la famille formée de {1, 2} et {2, 3} recouvre X. Leur intersection {2} ne peut toutefois pas être obtenue comme réunion d'éléments de cette famille. Elle ne vérifie donc pas le critère de base.

Une intersection infinie peut sortir de la topologie. Sur ℝ, l'intersection des intervalles ]−1/n, 1/n[, pour tous les entiers n ≥ 1, est le singleton {0}, qui n'est pas ouvert. Le critère de base porte sur deux éléments à la fois, puis sur des réunions ; il n'impose pas la stabilité par intersection infinie.

La décomposition n'est pas unique. L'intervalle ]−1, 3[ est déjà un élément de base, mais il peut aussi s'écrire comme réunion de nombreux intervalles ouverts plus petits. Il faut vérifier l'existence d'une décomposition, pas en chercher une représentation canonique.

Ouvert relatif — Pour voir comment la notion d'ouvert change lorsqu'on restreint l'espace ambiant à une partie.

Topologie quotient — Pour découvrir une autre manière d'engendrer une topologie, cette fois à partir d'une application quotient.

La droite topologique — Pour prolonger l'exemple conducteur et observer ce que la topologie révèle de la droite réelle.