Recouvrement

Imaginez six cases numérotées de 1 à 6. Un premier groupe entoure les cases 1, 2 et 3, un deuxième les cases 3, 4 et 5, puis un troisième les cases 5 et 6. Chaque case appartient à au moins un groupe : ces trois groupes recouvrent donc l'ensemble des six cases.

Les groupes peuvent se chevaucher, comme aux cases 3 et 5. Le point décisif n'est pas de ranger chaque élément une seule fois, mais de ne laisser aucun élément de l'ensemble à couvrir hors de tous les groupes.

Soit un ensemble E inclus dans un ensemble ambiant X. Une famille de sous-ensembles de X, notée $\mathcal{U}=(U_i{)}_{i\in I}\backslash mathcal\{U\}=(U\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$, est un recouvrement de E lorsque chaque élément de E appartient à au moins un membre de la famille. Cette condition s'écrit :

Les membres du recouvrement peuvent se chevaucher et certains peuvent être inutiles. Un sous-recouvrement est obtenu en ne gardant qu'une partie des membres de la famille, tout en couvrant encore E. En topologie, le recouvrement est dit ouvert lorsque tous ses membres sont des ouverts de l'espace ambiant. Un espace topologique est compact lorsque chacun de ses recouvrements ouverts possède un sous-recouvrement fini. Si les membres sont deux à deux disjoints et que leur réunion vaut exactement E, on obtient une partition de E, sous la convention usuelle qui exclut les parties vides.

On veut couvrir l'ensemble E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Les données sont A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} et C = {5, 6}. La figure représente ces trois sous-ensembles sur la même rangée de six éléments.

1. Réunir A et B donne {1, 2, 3, 4, 5}. L'élément 6 n'est pas encore couvert.

2. Ajouter C apporte l'élément 6. La réunion devient alors $A\cup B\cup C=\{1,2,3,4,5,6\}=EA\backslash cup\; B\backslash cup\; C=\backslash \{1,2,3,4,5,6\backslash \}=E$.

3. On conclut que {A, B, C} est un recouvrement de E. Ce n'est pas une partition, car A et B ont l'élément 3 en commun, tandis que B et C ont l'élément 5 en commun.

Le contrôle est refaisable élément par élément : 1 et 2 sont dans A, 3 dans A et B, 4 dans B, 5 dans B et C, puis 6 dans C. Aucun élément de E ne reste découvert.

Pour vérifier un recouvrement fini, on examine chaque élément de l'ensemble cible et on lui associe au moins un sous-ensemble qui le contient. Dans l'exemple, cette vérification révèle immédiatement que A et B seuls échouent, puisque 6 reste découvert.

Pour alléger une famille, on retire un membre puis on recalcule la réunion. Si l'ensemble cible est toujours inclus dans cette réunion, la famille restante est un sous-recouvrement ; sinon, le membre retiré était nécessaire à cette sélection.

En topologie, on contrôle d'abord que chaque membre de la famille est ouvert. Pour établir la compacité, il faut ensuite montrer que tout recouvrement ouvert, même infini, contient une sélection finie qui couvre encore tout l'espace.

Recouvrement et partition. Dans un recouvrement, les membres peuvent se chevaucher. Dans une partition, ils sont deux à deux disjoints et leur réunion est exactement l'ensemble partagé. Ainsi, {A, B, C} recouvre E dans l'exemple, mais les intersections aux éléments 3 et 5 empêchent d'en faire une partition.

Famille et réunion. Le recouvrement est la famille de sous-ensembles ; la réunion est l'ensemble obtenu en rassemblant leurs éléments. Deux familles différentes peuvent avoir la même réunion et donc couvrir le même ensemble.

Des chevauchements ne suffisent pas. Le fait que plusieurs membres aient des éléments communs ne prouve pas qu'ils couvrent E. Le symptôme est un élément de E absent de toute la famille ; il faut vérifier l'inclusion de E dans la réunion.

Un sous-recouvrement ne crée pas de nouveaux ensembles. Il sélectionne des membres du recouvrement initial. Remplacer deux membres par leur réunion peut encore couvrir E, mais cela construit une autre famille au lieu d'extraire un sous-recouvrement.

Fini ne signifie pas minimal. Un sous-recouvrement fini peut contenir un membre superflu. Pour tester la minimalité par inclusion, on retire successivement chaque membre et on vérifie si la couverture cesse ; cette propriété est distincte de la compacité.

Le vide dépend d'une convention. La famille vide recouvre l'ensemble vide, car aucun élément ne reste découvert. En revanche, une partition est usuellement formée de parties non vides ; il faut annoncer une convention différente si des parties vides sont admises.

La fiche compacité - topologie - développe la propriété qui garantit l'existence d'un sous-recouvrement fini pour chaque recouvrement ouvert.

Le théorème de Borel-Lebesgue présente le critère de recouvrement fini dans le cadre classique auquel son nom est attaché.

La fiche Localement fini (recouvrement) impose qu'au voisinage de chaque point, seuls un nombre fini de membres de la famille interviennent.