théorème de Borel-Lebesgue

Imaginez le rectangle plein K = [−2, 2] × [−1, 1] dans le plan. Il contient son bord et ne s’étend pas indéfiniment. Ces deux propriétés, être fermé et borné, suffisent pour qu’il soit compact.

Concrètement, une suite de points choisie dans ce rectangle peut s’éparpiller ou osciller, mais on peut toujours en extraire une sous-suite qui converge vers un point encore situé dans le rectangle. Le théorème affirme que cette équivalence fonctionne dans tout espace normé de dimension finie.

Le théorème de Borel-Lebesgue, aussi nommé théorème de Heine-Borel dans certaines présentations, est une caractérisation de la compacité. Soit E un espace normé de dimension finie et K une partie de E. La partie K est bornée lorsqu’elle tient dans une boule de rayon fini. Elle est fermée lorsque toute suite de points de K qui converge dans E a sa limite dans K.

Dans ce cadre, K est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée. La compacité peut se lire séquentiellement : toute suite de points de K admet une sous-suite qui converge vers un point de K. Le résultat vaut pour la droite réelle, le plan, les espaces euclidiens et, plus généralement, tout espace normé de dimension finie.

La dimension finie est indispensable pour la réciproque. Dans un espace de Banach de dimension infinie, toute partie compacte reste fermée et bornée, mais une partie fermée et bornée n’est pas nécessairement compacte. La boule unité fermée en fournit le contre-exemple donné par la définition source. Les noms d’Émile Borel et d’Henri Lebesgue sont associés au théorème.

Soit E un espace normé de dimension finie et soit K une partie de E. Alors : $K\text{ est compacte }⟺K\text{est ferm}\acute{\text{e}}\text{e et born}\acute{\text{e}}\text{e}K\backslash \; \backslash text\{est\; compacte\}\backslash \; \backslash Longleftrightarrow\backslash \; K\backslash \; \backslash text\{est\; fermée\; et\; bornée\}$.

Autrement dit, si K est fermée et bornée, alors toute suite de points de K possède une sous-suite convergeant vers un point de K. Réciproquement, si K est compacte, elle est fermée et bornée.

Le théorème s’applique à une partie K d’un espace normé de dimension finie. Il faut vérifier deux conditions distinctes : K est bornée, donc contenue dans une boule de rayon fini, et K est fermée, donc elle contient les limites de ses suites convergentes. Ces deux vérifications donnent alors la compacité de K.

En dimension infinie, ce test ne fonctionne plus dans ce sens. La boule unité fermée d’un espace de Banach de dimension infinie est bien fermée et bornée, mais elle n’est pas compacte. Il faut alors établir directement la compacité, par exemple avec le critère séquentiel, au lieu de conclure à partir des deux seules propriétés.

Données. Dans le plan euclidien ℝ², on considère le rectangle plein K = [−2, 2] × [−1, 1]. Pour chaque entier n ≥ 1, le point p_n a pour coordonnées $p_n=(2-\frac{1}{n},\frac{(-1{)}^n}{n})p\_n=\backslash left(2-\backslash frac\{1\}\{n\},\backslash frac\{(-1)^n\}\{n\}\backslash right)$.

1. Le rectangle contient ses quatre côtés. Il est donc fermé dans ℝ².

2. Tout point (x, y) de K vérifie |x| ≤ 2 et |y| ≤ 1. Sa norme euclidienne vérifie donc $\sqrt{x^2+y^2}\le \sqrt{5}\backslash sqrt\{x^2+y^2\}\backslash le\backslash sqrt\{5\}$ : K est borné.

3. Le plan est de dimension finie. Le théorème de Borel-Lebesgue permet donc de conclure que K est compact.

4. Chaque point p_n appartient à K. Lorsque n grandit, sa première coordonnée tend vers 2 et sa seconde vers 0. La suite converge vers le point (2, 0), qui appartient encore à K.

Contrôle. La distance de p_n à (2, 0) vaut $\frac{\sqrt{2}}{n}\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{n\}$. Dès que n ≥ 15, elle est inférieure à 0,1. La figure matérialise à la fois le rectangle fermé et borné, et l’arrivée de cette suite sur un point du bord inclus.

Dans ℝ ou ℝⁿ, le théorème transforme souvent une preuve de compacité en deux contrôles plus simples : vérifier que l’ensemble contient son bord, puis trouver une borne commune pour ses points. Pour le rectangle K, les bornes des coordonnées donnent immédiatement ces contrôles.

Pour étudier une suite de points dans un tel ensemble, la compacité garantit l’existence d’une sous-suite convergente dont la limite reste dans l’ensemble. Si l’espace est de dimension infinie, ce raccourci est abandonné : la fermeture et la bornitude seules ne suffisent plus.

Avec le théorème de Bolzano-Weierstrass. Celui-ci part d’une suite bornée en dimension finie et garantit une sous-suite convergente. Le théorème de Borel-Lebesgue caractérise plutôt les ensembles compacts. Une suite bornée peut avoir une sous-suite dont la limite se trouve hors de l’ensemble de ses termes ; dans un compact, la limite extraite appartient au compact.

Avec la complétude. Dans un espace complet, toute suite de Cauchy converge vers un point de l’espace. La compacité exige davantage : toute suite dans l’ensemble doit posséder une sous-suite convergente. Un espace de Banach de dimension infinie est complet, mais sa boule unité fermée n’est pas compacte.

Dimension infinie. Une partie fermée et bornée peut ne pas être compacte. Le symptôme est l’impossibilité d’extraire une sous-suite convergente de certaines suites de points. La boule unité fermée d’un espace de Banach de dimension infinie est le contre-exemple de référence ; il faut tester la compacité autrement.

Bord retiré. Une partie peut être bornée sans être fermée. Le rectangle ouvert ]−2, 2[ × ]−1, 1[ exclut son bord : la suite de l’exemple, considérée à partir de n = 2, reste dans ce rectangle et tend vers (2, 0), qui n’y appartient pas. On ne peut donc pas conclure à la compacité.

Ensemble non borné. Une partie peut être fermée sans être compacte. La droite réelle ℝ est fermée dans elle-même, mais la suite de nombres 1, 2, 3, … n’a aucune sous-suite convergente dans ℝ. La bornitude doit être vérifiée séparément.

La compacité en topologie replace le critère séquentiel dans une notion plus générale et éclaire le rôle des recouvrements ouverts.

Le théorème de Bolzano-Weierstrass développe le versant séquentiel : une suite bornée en dimension finie possède une sous-suite convergente.

L’espace de Banach permet d’examiner pourquoi la complétude ne rétablit pas l’équivalence entre fermeture, bornitude et compacité en dimension infinie.