AlgèbreNotion · Glossaire
Élément maximal
Dans un ensemble ordonné, un élément maximal est un élément qui n'est inférieur à aucun autre élément de l'ensemble, c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'élément strictement plus grand. Un élément maximal n'est pas nécessairement un maximum (le plus grand de tous) : il peut en coexister plusieurs dans un ordre partiel. Le lemme de Zorn garantit l'existence d'un élément maximal dans tout ensemble partiellement ordonné inductif.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un élément maximal dans un ordre partiel.
- Distinguer un élément maximal d’un maximum, d’un majorant et d’une borne supérieure.
- Comprendre les hypothèses sous lesquelles le lemme de Zorn assure son existence.
En clair
Prenons les nombres 1, 2 et 3, rangés selon la divisibilité : on monte d’un nombre vers un autre lorsque le premier divise le second. Depuis 1, on peut monter vers 2 ou vers 3. En revanche, aucun nombre de la collection ne se trouve au-dessus de 2 ou de 3. Ces deux nombres sont donc maximaux. Il y en a plusieurs parce que 2 ne divise pas 3 et que 3 ne divise pas 2.
Définition
On considère un ensemble E muni d’un ordre partiel, noté ≤. Un élément m de E est maximal lorsqu’aucun élément de E n’est strictement supérieur à m. De façon équivalente, pour tout élément x de E, le critère est . Ce critère porte uniquement sur les éléments comparables à m.
Un ordre partiel peut laisser certains éléments incomparables. Plusieurs éléments maximaux peuvent donc coexister. Un maximum, au contraire, est un élément de E supérieur ou égal à tous les éléments de E. S’il existe, il est unique et constitue l’unique élément maximal ; la réciproque est fausse en général.
Le lemme de Zorn fournit une condition d’existence. Une chaîne est une partie de E dont tous les éléments sont comparables deux à deux. Si chaque chaîne possède dans E un majorant, c’est-à-dire un élément supérieur ou égal à chacun de ses membres, alors E contient au moins un élément maximal. Cette hypothèse est ce que recouvre ici le caractère inductif de l’ensemble ordonné.
Un exemple, pas à pas
On ordonne la collection formée par 1, 2 et 3 selon la divisibilité. Les données sont les trois entiers et la règle suivante : un nombre est placé sous un autre s’il le divise. Ainsi, 1 divise 2 et 3, tandis que 2 et 3 ne se divisent pas l’un l’autre.
1. Depuis 1, on trouve deux éléments strictement supérieurs : 2 et 3.
2. Depuis 2, aucun autre nombre de la collection n’est un multiple de 2.
3. Depuis 3, aucun autre nombre de la collection n’est un multiple de 3.
4. On retient donc 2 et 3 comme éléments maximaux.
2. Depuis 2, aucun autre nombre de la collection n’est un multiple de 2.
3. Depuis 3, aucun autre nombre de la collection n’est un multiple de 3.
4. On retient donc 2 et 3 comme éléments maximaux.
Il n’existe pas de maximum : ni 2 ni 3 n’est au-dessus de tous les éléments. Le contrôle se refait en listant, pour chaque candidat, ses multiples présents dans la collection. Un candidat est maximal si cette liste ne contient que lui-même.
En pratique
Dans un ensemble fini représenté par un diagramme d’ordre, on suit les relations vers le haut. Les sommets dont aucun trait ne monte vers un autre élément sont maximaux. Si un sommet domine tous les autres, on peut annoncer plus précisément qu’il s’agit du maximum.
Pour comparer des solutions ordonnées par inclusion, on cherche celles qu’il est impossible d’agrandir tout en restant dans la collection autorisée. Elles sont maximales. Cette recherche convient lorsque plusieurs solutions incomparables sont acceptables ; un maximum serait préférable si une solution devait contenir toutes les autres.
Dans un ensemble infini, une exploration élément par élément peut ne jamais s’achever. Le lemme de Zorn prend alors le relais lorsque chaque chaîne possède un majorant dans l’ensemble : il assure l’existence d’un maximal sans le construire explicitement.
À ne pas confondre
Maximum. Un maximum est un élément de l’ensemble supérieur ou égal à tous les éléments de cet ensemble ; un maximal n’a seulement aucun élément strictement supérieur. Dans la collection 1, 2, 3 ordonnée par divisibilité, 2 et 3 sont maximaux, mais aucun n’est un maximum.
Majorant. Un majorant d’une partie peut se trouver en dehors de cette partie, mais il appartient à l’ensemble ordonné ambiant. Un élément maximal doit, lui, appartenir à l’ensemble étudié. Pour la partie formée par 1 et 2 dans les diviseurs de 6, le nombre 6 est un majorant sans être membre de la partie.
Borne supérieure. La borne supérieure est le plus petit des majorants lorsqu’il existe. Elle répond à une question de domination d’une partie, non à l’absence d’un élément strictement supérieur. Dans les nombres réels, 1 est la borne supérieure de l’intervalle ouvert allant de 0 à 1, mais il n’en est pas un élément maximal puisqu’il n’appartient pas à cet intervalle.
Limites et pièges
Plusieurs sommets restent possibles. Si deux candidats sont incomparables et qu’aucun élément ne les dépasse, ils sont tous deux maximaux. Il faut conserver la liste complète au lieu d’en choisir arbitrairement un seul.
L’existence n’est pas automatique. Dans les entiers munis de l’ordre usuel, tout entier possède un entier strictement plus grand. Le symptôme est que chaque candidat peut encore être dépassé ; il faut conclure qu’il n’y a aucun élément maximal.
L’ensemble vide n’a pas de candidat. Aucun élément ne peut y satisfaire la définition. Avant toute recherche, il faut donc vérifier que l’ensemble étudié contient au moins un élément.
Zorn exige un majorant dans l’ensemble. Vérifier seulement que les chaînes ont une borne dans un ensemble extérieur ne suffit pas. Il faut établir, pour chaque chaîne, l’existence d’un majorant appartenant à l’ensemble ordonné concerné avant d’invoquer le lemme.
Pour aller plus loin
Ordre partiel — Pour approfondir la comparaison qui autorise des éléments incomparables.
Majorant — Pour préciser la condition imposée à chaque chaîne dans le lemme de Zorn.
Borne supérieure — Pour distinguer le plus petit majorant d’un élément maximal.
lemme de Zorn — Pour étudier le théorème d’existence utilisé dans les ensembles ordonnés inductifs.
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