Logique et ensemblesNotion · Glossaire
Inductif
Dans la théorie des ordres partiels, un ensemble ordonné est dit inductif (ou satisfait la condition de Zorn, ou est inductivement ordonné) si toute chaîne (sous-ensemble totalement ordonné) admet un majorant dans l'ensemble. Le lemme de Zorn affirme que tout ensemble partiellement ordonné inductif non vide possède au moins un élément maximal. Ce lemme est équivalent à l'axiome du choix et est un outil fondamental pour prouver l'existence d'objets maximaux en algèbre (bases de Hamel, idéaux maximaux, etc.).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître la condition de majoration de toute chaîne.
- Suivre cette condition dans l'ordre des parties de {a, b, c}.
- Distinguer majorant, élément maximal et maximum.
- Relier le lemme de Zorn à l'axiome du choix et à ses usages algébriques.
En clair
Prenons des sous-ensembles de {a, b, c} et rangeons-les par inclusion. Dans la chaîne ∅ ⊂ {a} ⊂ {a, b}, chaque ensemble contient le précédent. L'ensemble {a, b, c} se trouve au-dessus de tous : c'est un majorant de cette chaîne.
Un ordre est inductif lorsque toute chaîne possède ainsi un objet qui la domine sans sortir de l'ensemble ordonné. Cette garantie permet ensuite de chercher un objet maximal, que rien de strictement plus grand ne prolonge.
Définition
Un ensemble partiellement ordonné est inductif lorsque chacune de ses chaînes admet un majorant appartenant à cet ensemble. Une chaîne est un sous-ensemble dont deux éléments quelconques sont toujours comparables. Un majorant de la chaîne domine chacun de ses éléments, mais il n'appartient pas nécessairement à la chaîne. On dit aussi que l'ordre satisfait la condition de Zorn ou qu'il est inductivement ordonné.
Le lemme de Zorn ajoute une conclusion d'existence : si l'ensemble partiellement ordonné est inductif et non vide, il possède au moins un élément maximal. Un élément est maximal lorsqu'aucun élément strictement plus grand ne lui est comparable au-dessus. Il peut y avoir plusieurs éléments maximaux, et aucun ne doit forcément dominer tout l'ensemble.
Ce lemme est équivalent à l'axiome du choix. Il sert notamment à établir l'existence de bases de Hamel et d'idéaux maximaux, même lorsqu'une construction explicite de l'objet recherché n'est pas disponible.
Un exemple, pas à pas
Considérons les huit sous-ensembles de {a, b, c}, ordonnés par inclusion. Les données sont l'ensemble de départ {a, b, c}, l'ordre ⊆ et la chaîne ∅ ⊂ {a} ⊂ {a, b}.
1. Comparons les éléments de la chaîne : chacun est inclus dans le suivant, donc ils sont deux à deux comparables.
2. Réunissons-les : leur union est {a, b}. Cette union est encore un sous-ensemble de {a, b, c} et contient chaque élément de la chaîne. Elle constitue donc déjà un majorant, situé dans la chaîne.
3. Le même raisonnement vaut pour toute chaîne de parties : son union reste une partie de {a, b, c} et la majore. L'ensemble ordonné est donc inductif.
4. Le lemme de Zorn garantit alors un élément maximal. Ici, {a, b, c} est même le maximum : il contient les huit parties. Le contrôle consiste à vérifier qu'ajouter un élément est impossible, puisque a, b et c sont déjà présents. La figure matérialise la chaîne, son union et ce maximum.
En pratique
Pour prouver l'existence d'un objet maximal, on ordonne d'abord des candidats par prolongement ou par inclusion. Si toute chaîne possède un majorant admissible, le lemme de Zorn fournit un candidat maximal. Une construction directe reste préférable lorsqu'elle est disponible et vérifiable.
Dans un espace vectoriel, cette démarche sert à obtenir une base de Hamel : on considère des familles libres ordonnées par inclusion, puis on vérifie que la réunion d'une chaîne reste un candidat admissible.
En algèbre, le même schéma intervient pour les idéaux maximaux. Le point décisif n'est pas le nom du domaine, mais la vérification que le majorant d'une chaîne reste bien dans la famille étudiée.
À ne pas confondre
Inductif et raisonnement par récurrence. Ici, « inductif » qualifie un ordre dans lequel toute chaîne a un majorant. Un raisonnement par récurrence, lui, établit des propositions indexées à partir d'un cas initial et d'un passage au rang suivant.
Élément maximal et maximum. Un maximal n'a aucun élément strictement plus grand au-dessus de lui ; un maximum domine tous les éléments. Dans l'ordre par inclusion des parties de {a, b, c}, {a, b, c} est un maximum, donc aussi un maximal.
Chaîne et ensemble partiellement ordonné. Dans une chaîne, toute paire est comparable. Dans un ordre partiel général, deux éléments peuvent ne pas l'être : {a} et {b} sont incomparables pour l'inclusion.
Limites et pièges
Un majorant doit rester admissible. Trouver un objet plus grand dans un univers extérieur ne suffit pas. Il faut vérifier qu'il appartient à l'ensemble partiellement ordonné étudié ; sinon, la condition d'inductivité n'est pas établie.
Le majorant peut être extérieur à la chaîne. Pour ∅ ⊂ {a} ⊂ {a, b}, l'ensemble {a, b, c} majore la chaîne sans en être un élément. Exiger qu'un majorant appartienne à la chaîne renforcerait à tort la condition.
La non-vacuité intervient dans la conclusion. Le lemme de Zorn exige un ensemble ordonné non vide pour garantir un élément maximal. Un ensemble vide ne peut contenir aucun élément maximal, même si la chaîne vide est traitée selon une convention particulière.
Maximal ne signifie ni unique ni plus grand que tout. Le lemme assure au moins un maximal, pas un maximum unique. Pour conclure davantage, il faut examiner séparément les comparaisons entre les candidats maximaux.
Pour aller plus loin
Le lemme de Zorn détaille le passage de la condition sur les chaînes à l'existence d'un élément maximal.
La notion de Majorant précise ce que signifie dominer tous les éléments d'une partie ordonnée.
La fiche Élément maximal approfondit la différence entre maximalité et existence d'un maximum.
L'axiome du choix situe le principe auquel le lemme de Zorn est équivalent.
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