Zorn Max

En 1935, Max Zorn énonce un principe qui aide à repérer un objet que l'on ne peut plus agrandir dans un ensemble ordonné. Imaginez les nombres 2, 3, 5, 6, 10 et 15, classés par divisibilité. Le nombre 6 est au-dessus de 2 et de 3, mais il n'est comparable ni à 10 ni à 15.

Dans cet exemple, 6, 10 et 15 sont maximaux : aucun nombre de la liste ne les prolonge selon l'ordre choisi. L'axiome de Zorn garantit l'existence d'au moins un tel sommet quand chaque chaîne possède un majorant dans l'ensemble.

L'axiome de Zorn, aussi rencontré sous le nom de lemme de Zorn, porte sur un ensemble muni d'un ordre partiel. Deux éléments n'y sont pas nécessairement comparables. Une chaîne est une partie dans laquelle toute paire d'éléments est comparable. Un majorant d'une chaîne est un élément de l'ensemble qui se trouve au-dessus de chacun de ses éléments ; il n'est pas obligé d'appartenir à la chaîne.

L'énoncé est le suivant : si chaque chaîne possède un majorant dans l'ensemble ordonné, alors cet ensemble possède au moins un élément maximal. Un élément est maximal lorsqu'aucun élément strictement plus grand ne lui est comparable. La conclusion affirme une existence, pas l'unicité, et ne fournit pas nécessairement une construction de l'élément maximal.

Max Zorn a formulé ce principe du maximum en 1935. Le résultat est équivalent à l'axiome du choix. Sa portée s'inscrit dans des recherches qui ont aussi concerné l'algèbre, la théorie des groupes et l'analyse mathématique.

Prenons l'ensemble formé par 2, 3, 5, 6, 10 et 15. On ordonne ces nombres par divisibilité : un nombre est placé sous un autre lorsqu'il le divise. La figure matérialise toutes les relations immédiates de cet ordre et met en évidence la chaîne formée par 2 et 6.

1. Choisissez une chaîne. Par exemple, 2 divise 6, donc 2 et 6 sont comparables.
2. Le nombre 6 majore cette chaîne, car 2 divise 6 et 6 se divise lui-même.
3. Toute chaîne non vide de cet ensemble fini possède un plus grand élément, qui sert de majorant ; la chaîne vide est majorée par n'importe quel élément de l'ensemble.
4. Cherchez alors les éléments sans successeur strict : ce sont 6, 10 et 15.

Le contrôle est direct : aucun nombre de la liste n'est un multiple strict de 6, de 10 ou de 15. L'axiome conclut seulement qu'un élément maximal existe ; l'exemple en possède trois.

Dans un ensemble fini ordonné, on peut souvent inspecter directement les éléments et remonter jusqu'à un maximal. L'exemple des diviseurs se traite ainsi ; invoquer l'axiome de Zorn serait correct, mais plus lourd qu'une vérification exhaustive.

Lorsque les objets sont trop nombreux pour être énumérés, le geste change : on prend une chaîne arbitraire, on montre qu'elle possède un majorant dans le même ensemble, puis on applique l'axiome pour obtenir l'existence d'un maximal.

Avant d'utiliser ce principe, il faut donc identifier trois données vérifiables : l'ensemble considéré, son ordre partiel et une construction de majorant valable pour chaque chaîne. Si l'une manque, la conclusion ne suit pas de cet axiome.

Un élément maximal n'est pas forcément un plus grand élément. Dans l'ensemble ordonné par divisibilité de l'exemple, 6, 10 et 15 sont maximaux, mais aucun n'est divisible par les deux autres : il n'existe donc pas de plus grand élément.

Un majorant d'une chaîne n'est pas l'élément maximal promis par la conclusion. Le majorant répond à une chaîne donnée ; l'élément maximal concerne l'ensemble ordonné entier. Pour la chaîne réduite à 2, les nombres 6 et 10 sont deux majorants possibles, tandis que 2 n'est pas maximal dans l'ensemble.

Une chaîne n'est pas une partie quelconque. Les éléments 2 et 3 appartiennent au même ensemble, mais aucun ne divise l'autre : la partie formée par 2 et 3 n'est pas totalement ordonnée.

L'hypothèse concerne toutes les chaînes, y compris les chaînes infinies lorsque l'ensemble en contient. Vérifier seulement quelques chaînes typiques ne suffit pas ; il faut partir d'une chaîne arbitraire et produire un majorant qui reste dans l'ensemble étudié.

Le majorant doit appartenir à l'ensemble ordonné. Un objet construit dans un ensemble plus grand ne valide pas l'hypothèse. Le bon réflexe consiste à vérifier explicitement l'appartenance du majorant avant d'appliquer l'axiome.

La maximalité dépend de l'ordre et de l'ensemble choisis. Dans notre liste, 6 est maximal ; si l'on ajoute 30 tout en conservant l'ordre par divisibilité, 6 cesse de l'être puisque 6 divise strictement 30. Il faut donc annoncer le cadre avant toute conclusion.

Enfin, l'axiome garantit au moins un maximal, non un maximal unique. Les trois sommets 6, 10 et 15 de l'exemple rendent visible ce piège de lecture.

Axiome du choix — Situer l'énoncé auquel l'axiome de Zorn est démontré équivalent et prolonger son rôle en théorie des ensembles.