AlgèbreNotion · Glossaire
Éléments comparables
Dans un ensemble partiellement ordonné, deux éléments sont dits comparables si l'un est inférieur ou égal à l'autre, c'est-à-dire si a inférieur ou égal à b ou b inférieur ou égal à a. Dans un ordre total, tous les éléments sont comparables deux à deux. Dans un ordre partiel, il peut exister des paires d'éléments incomparables, c'est-à-dire pour lesquels ni a inférieur ou égal à b ni b inférieur ou égal à a.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir la comparabilité avec les deux directions de l'ordre.
- Reconnaître une paire incomparable dans un exemple de divisibilité.
- Distinguer ordre total, ordre partiel, élément maximal et chaîne.
En clair
Imaginez des objets que l'on peut ranger selon une règle, comme des nombres classés par divisibilité. Deux objets sont comparables lorsque la règle permet de dire lequel vient avant l'autre, ou lorsqu'ils sont à égalité. Avec les nombres 2 et 3, par exemple, ni 2 ne divise 3 ni 3 ne divise 2 : cette paire reste donc impossible à classer selon cette règle.
Définition
Soit un ensemble muni d'une relation d'ordre, notée ≤. Deux éléments a et b de cet ensemble sont comparables si au moins l'une des deux relations suivantes est vraie : a ≤ b ou b ≤ a. La relation peut aussi donner les deux à la fois lorsque a et b sont égaux.
Dans un ordre total, toute paire d'éléments est comparable. Dans un ordre partiel, cette propriété n'est pas exigée : certaines paires peuvent être incomparables, car ni a ≤ b ni b ≤ a ne s'applique. Une chaîne est une partie d'un ensemble ordonné dont tous les éléments sont comparables deux à deux.
Pour le voir sur un exemple, considérons l'ensemble {1, 2, 3, 6} ordonné par la divisibilité. La relation 1 ≤ 2 signifie ici que 1 divise 2, et non une comparaison de grandeur usuelle. Les paires (2, 3) et (3, 2) sont incomparables, tandis que 2 et 6 sont comparables. Le diagramme associé rend cette organisation visible.
Un exemple, pas à pas
Prenons l'ensemble E = {1, 2, 3, 6}, muni de l'ordre « divise ». Les données utiles sont les suivantes : 1 divise 2, 1 divise 3, 1 divise 6, 2 divise 6 et 3 divise 6.
On examine d'abord la paire (1, 3) : 1 divise 3, donc ses éléments sont comparables.
On examine ensuite la paire (2, 6) : 2 divise 6, donc ses éléments sont comparables.
Pour la paire (2, 3), 2 ne divise pas 3 et 3 ne divise pas 2 ; ses éléments sont donc incomparables.
On examine ensuite la paire (2, 6) : 2 divise 6, donc ses éléments sont comparables.
Pour la paire (2, 3), 2 ne divise pas 3 et 3 ne divise pas 2 ; ses éléments sont donc incomparables.
Le contrôle est direct : les deux seuls tests possibles pour 2 et 3 échouent, alors qu'un seul succès suffit pour établir la comparabilité. Ainsi, 2 et 3 forment une paire incomparable dans cet ordre partiel.
En pratique
Pour analyser un ensemble ordonné, choisissez deux éléments et testez les deux directions de la relation. Dès qu'une direction fonctionne, la paire est comparable ; si les deux échouent, elle est incomparable.
Dans un classement habituel par taille, utilisez l'ordre numérique : deux valeurs sont toujours comparables. Cette règle convient lorsque chaque paire doit recevoir un rang relatif.
Pour les ensembles de nombres ordonnés par divisibilité, préférez le test « divise » au classement numérique. Il révèle des paires comme 2 et 3, que leur taille permet de comparer mais que cette relation d'ordre ne départage pas.
À ne pas confondre
Un élément maximal n'est pas nécessairement le plus grand. « Maximal » signifie qu'aucun élément distinct ne lui est supérieur selon l'ordre ; un plus grand élément devrait être supérieur ou égal à tous les autres. Dans {1, 2, 3, 6} ordonné par divisibilité, 6 est le plus grand, tandis que dans un ordre partiel sans élément commun supérieur, plusieurs éléments peuvent être maximaux.
Une chaîne n'est pas synonyme d'ensemble ordonné. Une chaîne est une partie dans laquelle chaque paire est comparable. Dans l'exemple, {1, 2, 6} est une chaîne, alors que l'ensemble complet ne l'est pas puisque 2 et 3 sont incomparables.
Limites et pièges
La comparabilité dépend toujours de la relation d'ordre choisie. Les nombres 2 et 3 sont comparables pour l'ordre numérique, car 2 ≤ 3, mais incomparables pour la divisibilité. Il faut donc nommer l'ordre avant de tirer un verdict.
L'égalité ne crée pas une exception : un élément est comparable à lui-même, puisque a ≤ a dans une relation d'ordre. Pour une paire de deux éléments distincts, en revanche, une seule des deux directions suffit ; l'absence des deux directions signale l'incomparabilité.
Pour aller plus loin
La notion de comparabilité permet de repérer les chaînes à l'intérieur d'un ordre partiel. En étudiant quelles paires sont comparables, on distingue les portions qui peuvent être rangées linéairement de celles qui exigent plusieurs branches de classement.
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