AlgèbreNotion · Glossaire
Totalement ordonné
Un ensemble muni d'une relation d'ordre est dit totalement ordonné, ou linéairement ordonné, si deux éléments quelconques sont toujours comparables, c'est-à-dire si pour tout couple (a, b) on a soit a inférieur ou égal à b, soit b inférieur ou égal à a. Les exemples typiques sont les entiers, les rationnels et les réels avec leur ordre habituel. En revanche, l'inclusion des ensembles est en général un ordre partiel et non total.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître la comparabilité de toute paire d'éléments.
- Vérifier le critère sur E = {1, 2, 4, 7}.
- Distinguer ordre total, ordre partiel et existence d'un maximum.
En clair
Imaginez quatre nombres posés sur une règle : 1, 2, 4 et 7. En les prenant deux par deux, on peut toujours dire lequel est le plus petit, ou constater qu'ils sont égaux. Cette possibilité de les ranger sans laisser de paire indécidable est le cœur d'un ordre total.
Les nombres entiers, rationnels et réels suivent l'ordre habituel. En revanche, deux ensembles peuvent être tels qu'aucun des deux ne contient l'autre : l'inclusion ne permet alors pas toujours de les classer.
Définition
Un ensemble totalement ordonné est un ensemble muni d'une relation d'ordre dans laquelle toute paire d'éléments est comparable. Une relation d'ordre est une règle qui est réflexive (tout élément est inférieur ou égal à lui-même), antisymétrique (si deux éléments sont chacun inférieur ou égal à l'autre, alors ils sont égaux) et transitive (si a ≤ b et b ≤ c, alors a ≤ c).
Si a et b désignent deux éléments quelconques de l'ensemble, la comparabilité s'écrit :
Le symbole ≤ se lit « inférieur ou égal à ». Le mot « totalement » concerne donc toutes les paires, et non seulement certaines paires choisies. On dit aussi que l'ordre est linéaire.
L'ordre habituel des entiers, des rationnels et des réels est total. L'inclusion des ensembles fournit seulement un ordre partiel en général : deux ensembles qui se recouvrent sans que l'un contienne l'autre restent incomparables.
Un exemple, pas à pas
Considérons l'ensemble E = {1, 2, 4, 7}, muni de l'ordre habituel des nombres. Pour tester la propriété, on choisit deux éléments quelconques, par exemple 2 et 7. Comme 2 est inférieur à 7, cette paire est comparable.
On recommence avec 1 et 4, puis avec 4 et 4. On obtient respectivement 1 ≤ 4 et 4 ≤ 4. La dernière comparaison rappelle que l'égalité est admise dans « inférieur ou égal ».
Il reste à considérer n'importe quelle autre paire de E. L'ordre habituel range les quatre valeurs sur une même ligne, si bien que l'une des deux orientations est toujours vraie. E est donc totalement ordonné par ≤.
En pratique
Pour reconnaître un ordre total, prenez deux éléments sans les choisir selon leur position. Vérifiez qu'une comparaison dans l'un des deux sens est toujours possible. Dans E = {1, 2, 4, 7}, l'ordre habituel permet notamment de placer 2 avant 7 et 4 avant 7 ; le même raisonnement vaut pour toute paire.
Cette propriété autorise un rangement global des éléments. Elle ne dit pas qu'il existe un plus grand élément : l'ensemble des entiers naturels est totalement ordonné par ≤, mais il n'a pas de maximum.
À ne pas confondre
Un ordre partiel exige seulement que certaines paires soient comparables. Pour l'inclusion, les ensembles {1, 2} et {2, 3} sont incomparables : aucun ne contient l'autre. Pour un ensemble ayant au moins deux éléments, l'inclusion ne devient donc pas une relation d'ordre total sur l'ensemble de toutes ses parties.
Il ne faut pas non plus confondre comparabilité et existence d'un maximum. Dans E = {1, 2, 4, 7}, 7 est le plus grand élément. Dans l'ensemble des entiers naturels, chaque paire reste comparable, mais aucun entier n'est au-dessus de tous les autres.
Limites et pièges
La totalité dépend de la relation choisie et de l'ensemble considéré. Une même collection peut être totalement ordonnée par une relation et ne pas l'être par une autre. Il faut donc toujours préciser la règle de comparaison, comme l'ordre habituel ≤ pour E = {1, 2, 4, 7}.
Un ordre total ne garantit ni un premier élément, ni un dernier, ni la présence d'une borne supérieure dans l'ensemble. Les entiers relatifs sont totalement ordonnés par ≤, mais ils n'ont ni minimum ni maximum. De même, les réels sont totalement ordonnés, tandis qu'un intervalle ouvert comme ]0, 1[ n'a pas de plus petit ni de plus grand élément.
Enfin, « maximal » ne signifie pas nécessairement « plus grand » dans un ordre partiel. Un élément maximal n'est dominé par aucun élément distinct, alors qu'un plus grand élément domine tous les autres. En ordre total, ces notions coïncident lorsqu'un tel élément existe.
Pour aller plus loin
Dans un ensemble totalement ordonné, une partie finie non vide possède toujours un plus petit élément et un plus grand élément. C'est ce qui rend possible le tri de ses éléments. Pour une partie infinie, la totalité de l'ordre ne suffit pas : l'ensemble des entiers naturels possède un minimum, mais pas de maximum.
La notion se prolonge avec les ordres totaux stricts, qui comparent deux éléments distincts par le symbole « inférieur à » ou « supérieur à », et avec les ordres bien fondés, où toute partie non vide possède un plus petit élément. Ces propriétés supplémentaires ne sont pas contenues dans la seule comparabilité.
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