Bien ordonné (ensemble)

Prenez les entiers naturels dans leur ordre habituel, puis choisissez-en quelques-uns, par exemple 3, 5 et 8. Le premier nombre rencontré est 3 : c'est le plus petit de la partie choisie. Un ensemble est bien ordonné lorsque ce repère existe pour toute sélection non vide, même si elle contient une infinité d'éléments. Il faut aussi que deux éléments quelconques puissent toujours être comparés.

Un ensemble bien ordonné est un ensemble E muni d'un ordre total, noté ici ≤, qui satisfait une condition supplémentaire : toute partie non vide A de E possède un plus petit élément. Cet élément, noté m, appartient à A et précède ou égale chacun des éléments de A.

Cette écriture se lit ainsi : pour toute partie A incluse dans E (∀ A ⊆ E), si A n'est pas vide (A ≠ ∅), alors (⇒) il existe (∃) un élément m appartenant à A (m ∈ A) tel que, pour tout élément a de A, m ≤ a.

L'ordre habituel des entiers naturels est le prototype : chaque partie non vide de ces entiers a un premier terme. La propriété implique que l'ordre est à la fois total et bien fondé. Le principe du bon ordre affirme par ailleurs que tout ensemble peut recevoir un bon ordre ; cette affirmation est équivalente à l'axiome du choix. Enfin, les ordinaux classent les ensembles bien ordonnés à isomorphisme d'ordre près.

Quatre données structurent la notion. L'ensemble E fournit les éléments à ordonner. La relation d'ordre indique lequel de deux éléments vient avant l'autre. La totalité garantit que toute paire est comparable. Enfin, la propriété de plus petit élément s'applique non seulement à E, mais à chacune de ses parties non vides.

La relation dépend du support : les mêmes éléments peuvent recevoir un autre ordre. La condition de bon ordre dépend à son tour de cette relation, car c'est elle qui détermine le premier élément de chaque partie. Ces données suffisent à comparer les éléments et à désigner sans ambiguïté le minimum de toute partie non vide.

On travaille dans l'ensemble des entiers naturels muni de l'ordre habituel. La partie choisie est A = {3, 5, 8}. Ses trois données sont donc 3, 5 et 8. La figure rend visible leur place dans l'ordre et le rôle particulier de 3.

1. On compare 3 et 5 : 3 ≤ 5.
2. On compare 3 et 8 : 3 ≤ 8.
3. Le nombre 3 appartient à A et il est inférieur ou égal à chaque élément de A.
4. Le plus petit élément de A est donc 3.

Le contrôle consiste à refaire les deux comparaisons avec 5 et 8. Cet exemple vérifie la propriété pour A seulement. Le fait que l'ordre habituel des entiers naturels soit un bon ordre assure qu'elle vaut aussi pour toute autre partie non vide.

Pour repérer le début d'une partie d'entiers naturels, on cherche son plus petit élément. Si aucune valeur ne vient en premier dans l'ordre considéré, cet ordre n'est pas un bon ordre.

Pour identifier la structure, on effectue deux contrôles distincts. On s'assure d'abord que tous les couples sont comparables, puis que toute partie non vide possède un minimum. Le seul contrôle de la totalité ne suffit pas.

Pour comparer deux ensembles bien ordonnés sans dépendre du nom de leurs éléments, on examine leur type d'ordre. Les ordinaux fournissent précisément ces classes d'isomorphisme.

Ordre total. Il rend toute paire comparable, mais cela ne garantit pas à lui seul qu'une partie non vide a un plus petit élément. Par exemple, l'ordre inverse de l'ordre habituel sur les entiers naturels est total, mais l'ensemble entier n'y a pas de plus petit élément.

Ordre bien fondé. Dans un ordre partiel bien fondé, une partie non vide a un élément minimal, pas nécessairement un unique plus petit élément. Sur {a, b} muni de la seule égalité, a et b sont incomparables. Un bon ordre ajoute la totalité.

Principe du bon ordre. Ce n'est pas la définition d'un ordre déjà donné. Pour les entiers naturels et leur ordre habituel, la définition constate un bon ordre particulier ; le principe affirme qu'un tel ordre peut être choisi sur tout ensemble. Il est équivalent à l'axiome du choix.

Tester seulement l'ensemble entier. Trouver un minimum à E ne suffit pas. Le symptôme est une partie non vide sans premier élément ; il faut donc appliquer le critère à toutes les parties non vides.

Oublier l'ordre choisi. Dire que des éléments sont bien ordonnés sans préciser leur relation est incomplet. Il faut toujours nommer l'ensemble et l'ordre qui le structure.

Généraliser depuis un exemple. La partie {3, 5, 8} a bien pour minimum 3, mais ce constat ne prouve rien pour toutes les autres parties. La propriété de bon ordre exige l'énoncé universel complet.

L'ordre total isole l'exigence de comparabilité, tandis que l'ordre bien fondé développe la condition portant sur les parties non vides.

L'axiome du choix précise la portée logique du principe du bon ordre. La fiche sur les entiers naturels approfondit le prototype utilisé dans l'exemple.

Le nombre ordinal prolonge l'idée de type d'ordre associé aux ensembles bien ordonnés.