Logique et ensemblesNotion · Glossaire
axiomatique de Zermelo-Fraenkel
L'axiomatique de Zermelo-Fraenkel (ZF) est le système d'axiomes le plus couramment utilisé pour fonder la théorie des ensembles. Elle bloque notamment les constructions à l'origine des paradoxes connus de la théorie naïve des ensembles en restreignant la formation des ensembles par des axiomes précis. Un énoncé notable, équivalent à l'axiome du choix dans ce cadre, affirme que tout ensemble peut être bien ordonné. L'axiome du choix, souvent adjoint à ZF pour former ZFC, est indépendant des autres axiomes : il ne peut ni être démontré ni réfuté à partir de ZF seul.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Expliquer pourquoi ZF encadre la formation des ensembles.
- Suivre sur {0, 1, 2} un exemple de sous-ensemble formé à partir d'un ensemble donné.
- Distinguer ZF, ZFC, axiome du choix et énoncé du bon ordre.
- Interpréter correctement l'indépendance de l'axiome du choix vis-à-vis de ZF.
En clair
Prenons trois objets numérotés 0, 1 et 2. On peut les réunir dans l'ensemble A = {0, 1, 2}, puis retenir seulement 0 et 2 pour former B = {0, 2}. Le point décisif est le départ : B est découpé à l'intérieur d'un ensemble déjà donné.
L'axiomatique de Zermelo-Fraenkel, abrégée ZF, encadre ainsi les constructions autorisées. Elle remplace l'idée naïve selon laquelle toute propriété définirait automatiquement un ensemble. Ces règles évitent les paradoxes produits par une formation sans restriction.
Définition
L'axiomatique de Zermelo-Fraenkel, notée ZF, est un système d'axiomes qui sert de fondation courante à la théorie des ensembles. Au lieu d'admettre qu'une propriété quelconque détermine toujours un ensemble, ZF soumet l'existence et la construction des ensembles à des règles précises. Cette restriction répond aux paradoxes de la théorie naïve des ensembles.
Le système ZF n'inclut pas l'axiome du choix. Lorsque cet axiome lui est ajouté, le système obtenu se nomme ZFC, la lettre C renvoyant au choix. Dans le cadre de ZF, l'affirmation « tout ensemble peut être bien ordonné » est équivalente à l'axiome du choix : accepter l'une permet d'établir l'autre.
L'indépendance du choix signifie que ZF seul ne permet ni de démontrer cet axiome ni de démontrer sa négation, sous les hypothèses de cohérence usuelles attachées à ces résultats. Adopter ZFC ajoute donc une règle que les autres axiomes de ZF ne tranchent pas. Cette nuance sépare la définition de ZF de celle de ZFC.
Un exemple, pas à pas
Partons de l'ensemble A = {0, 1, 2}. Nous voulons former la sous-collection des éléments de A différents de 1. Les données sont donc l'ensemble de départ A et la propriété « être différent de 1 ».
1. On examine 0 : il appartient à A et il est différent de 1, donc on le conserve.
2. On examine 1 : il appartient à A, mais ne vérifie pas la propriété, donc on l'écarte.
3. On examine 2 : il appartient à A et il est différent de 1, donc on le conserve.
4. On rassemble les éléments retenus : B = {0, 2}.
2. On examine 1 : il appartient à A, mais ne vérifie pas la propriété, donc on l'écarte.
3. On examine 2 : il appartient à A et il est différent de 1, donc on le conserve.
4. On rassemble les éléments retenus : B = {0, 2}.
Le résultat est bien une partie de A : chacun des deux éléments de B figurait dans l'ensemble de départ. Le contrôle consiste à relire les trois éléments de A ; aucun élément admissible n'a été oublié et 1 a bien été exclu. Cet exemple illustre une formation encadrée, sans prétendre résumer à lui seul tous les axiomes de ZF.
En pratique
Lorsqu'une définition introduit un ensemble par une propriété, on vérifie quelle règle autorise cette construction. Dans l'exemple, le sous-ensemble B est extrait de A ; on ne postule pas une collection universelle de tous les objets différents de 1.
Lorsqu'un raisonnement sélectionne des éléments dans une famille d'ensembles, on cherche s'il utilise l'axiome du choix. S'il en dépend, le cadre annoncé doit être ZFC plutôt que ZF seul.
Lorsqu'un texte affirme que tout ensemble peut être bien ordonné, on peut reconnaître une formulation équivalente à l'axiome du choix dans ZF. L'équivalence permet de changer de formulation, mais pas de conclure que ZF démontre l'énoncé.
À ne pas confondre
ZF et ZFC. ZF désigne l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel sans axiome du choix ; ZFC ajoute cet axiome. Un raisonnement qui requiert le choix relève donc de ZFC, pas de ZF seul.
Axiome du choix et théorème du bon ordre. Les formulations diffèrent : l'une parle de choix, l'autre affirme que tout ensemble peut être bien ordonné. Dans ZF, elles sont néanmoins équivalentes ; les distinguer par leur énoncé ne signifie pas les séparer par leur force.
ZF et théorie naïve des ensembles. La théorie naïve autorise une formation d'ensembles sans l'encadrement axiomatique qui évite les paradoxes. Le test consiste à demander si l'existence de l'ensemble invoqué découle bien d'une règle de ZF.
Limites et pièges
Une propriété ne suffit pas toujours. Le piège apparaît lorsqu'une phrase passe directement de « les objets qui vérifient cette propriété » à « l'ensemble de ces objets ». Il faut identifier l'axiome de ZF qui autorise réellement la formation.
Indépendant ne signifie ni faux ni contradictoire. Si l'axiome du choix n'est ni démontrable ni réfutable à partir de ZF seul, ZF ne donne précisément aucun de ces deux verdicts. Il faut annoncer si le raisonnement adopte ZF ou ZFC.
Une équivalence n'est pas une démonstration dans ZF. Établir que le bon ordre et l'axiome du choix sont équivalents montre qu'ils se déduisent l'un de l'autre. Cela ne fournit pas une preuve de l'un sans ajouter une hypothèse équivalente.
Pour aller plus loin
axiome du choix — Approfondit la règle ajoutée à ZF pour obtenir ZFC et sa relation avec le bon ordre.
Bon ordre — Développe l'énoncé équivalent au choix selon lequel tout ensemble peut être bien ordonné.
paradoxe de Russell — Donne un cas emblématique des difficultés rencontrées par la formation naïve des ensembles.
ZFC (théorie) — Présente le système obtenu lorsque l'axiome du choix est adjoint à ZF.
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