paradoxe de Russell

Imaginez un libraire qui fabrique un catalogue spécial. Il y inscrit tous les catalogues qui ne se citent pas eux-mêmes, et seulement ceux-là. Doit-il inscrire ce catalogue spécial dans sa propre liste ?

S'il l'inscrit, le catalogue se cite lui-même et ne remplit plus la condition. S'il ne l'inscrit pas, il remplit la condition et devrait donc y figurer. Le paradoxe de Russell révèle cette contradiction produite par une définition qui se retourne sur l'objet qu'elle construit.

Le paradoxe de Russell est une antinomie de la théorie naïve des ensembles. Dans ce cadre, on suppose que toute propriété permet de rassembler en un ensemble tous les objets qui la vérifient. On considère alors R, la collection de tous les ensembles qui ne sont pas éléments d'eux-mêmes.

La question de l'auto-appartenance de R produit deux conclusions opposées. Si R est élément de R, sa propriété exige qu'il ne le soit pas. Si R n'est pas élément de R, il vérifie précisément la propriété requise pour être élément de R. Le critère se résume par $RinRLongleftrightarrowRnotinRR\; \backslash \backslash in\; R\; \backslash \backslash Longleftrightarrow\; R\; \backslash \backslash notin\; R$, ce qui est contradictoire.

La conclusion exacte n'est pas que toute théorie des ensembles est incohérente. Elle est qu'on ne peut pas admettre sans restriction cette manière de former des ensembles. Les théories axiomatiques conçues pour écarter l'antinomie limitent les constructions autorisées.

Supposons que R soit un ensemble et que, pour tout ensemble x, l'appartenance de x à R signifie exactement que x n'appartient pas à lui-même. En remplaçant x par R, on obtient :

Les deux possibilités conduisent donc chacune à leur négation. Un tel ensemble R ne peut pas exister dans une théorie cohérente.

Le raisonnement vise une théorie naïve où une propriété quelconque est supposée définir un ensemble. Il faut aussi que la propriété puisse parler de l'appartenance d'un ensemble à lui-même. Enfin, la collection R doit être traitée comme un ensemble auquel son propre critère peut être appliqué.

Ces conditions ne sont pas réunies dans une théorie axiomatique qui restreint la formation des ensembles. On peut y sélectionner, à l'intérieur d'un ensemble déjà donné, les éléments qui ne s'appartiennent pas. La collection obtenue ne peut pas être elle-même un élément de l'ensemble de départ : si elle l'était, le même raisonnement contradictoire s'appliquerait. Le remplacement correct consiste donc à utiliser les axiomes de construction autorisés, et non une collection universelle supposée.

Un libraire possède des catalogues. Certains se répertorient eux-mêmes, d'autres non. Il annonce un catalogue C qui répertorie exactement tous les catalogues qui ne se répertorient pas eux-mêmes.

1. Supposons que C se répertorie lui-même. C ne respecte alors plus la condition d'entrée dans C ; il ne devrait pas s'y trouver.

2. Supposons au contraire que C ne se répertorie pas lui-même. Il respecte alors la condition d'entrée dans C ; il devrait s'y trouver.

3. Le contrôle consiste à reprendre séparément les deux seules réponses possibles. Chacune impose sa propre négation. La règle annoncée ne peut donc définir un catalogue C cohérent. Le schéma rend visibles ces deux branches qui aboutissent à la même contradiction.

En logique, le paradoxe sert de test face à une définition autoréférentielle. Lorsqu'un objet est défini par une règle portant sur tous les objets du même genre, on vérifie ce que la règle affirme pour l'objet nouvellement défini.

En théorie des ensembles, on ne forme pas librement « l'ensemble de tous les objets qui… ». On travaille avec les axiomes de la théorie choisie et l'on vérifie qu'ils autorisent la collection. Cette précaution remplace la compréhension naïve sans restriction.

Pour expliquer le mécanisme sans notation, le catalogue est souvent préférable au barbier : il conserve directement l'idée d'une liste qui peut tenter de se lister elle-même.

Paradoxe de Russell et paradoxe du barbier. Le premier concerne une formation illimitée d'ensembles. Le second en est une reformulation populaire : si, parmi les hommes d'un village dont il fait lui-même partie, le barbier rase exactement tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes, la question de son propre rasage montre qu'un tel barbier ne peut pas exister.

Contradiction et simple énoncé surprenant. Une surprise peut rester logiquement possible. Ici, les deux réponses à la question « R appartient-il à R ? » entraînent formellement leur négation ; c'est ce critère qui produit l'antinomie.

Prendre R pour un ensemble déjà légitime. C'est précisément l'hypothèse qui échoue. Le symptôme est l'équivalence entre une proposition et sa négation. Il faut contrôler les axiomes qui autorisent la formation de la collection.

Conclure que les ensembles s'appartenant à eux-mêmes sont la cause unique. Même si aucun ensemble d'une théorie donnée ne s'appartient à lui-même, la collection de « tous » ces ensembles n'est pas automatiquement un ensemble. Il faut distinguer une collection décrite en langage courant d'un ensemble dont l'existence est garantie.

Traiter l'analogie comme un personnage possible. Le barbier, le catalogue ou le facteur servent à exposer la structure logique. Quand leurs règles s'appliquent à eux-mêmes, la contradiction montre que l'objet ainsi spécifié n'existe pas ; elle ne décrit pas une hésitation à résoudre.

paradoxe — Situer l'antinomie de Russell parmi les raisonnements dont la conclusion heurte l'intuition ou révèle une difficulté logique.

La théorie des ensembles pour tous — Replacer le problème dans le domaine mathématique où ensembles, appartenance et constructions sont formalisés.

Un siècle de vie passionnée — Prolonger la découverte de Bertrand Russell au-delà de l'antinomie qui porte son nom.