Burali-Forti Cesare

En 1897, à Turin, Cesare Burali-Forti étudie les nombres ordinaux, qui servent à décrire des positions dans un ordre. Après 0, 1, 2 et 3, on peut toujours poursuivre avec un ordinal suivant. Il ne semble donc jamais exister de dernier ordinal.

Le paradoxe apparaît si l'on rassemble pourtant tous les ordinaux en une seule collection traitée comme un ensemble. Cette collection devrait avoir un ordre plus grand que chacun de ses membres. Mais cet ordre serait lui-même un ordinal et devrait donc figurer dans la collection : il devrait être plus grand que lui-même.

Cesare Burali-Forti (1861-1931) est un mathématicien et logicien italien. Professeur à l'Académie militaire de Turin, où il enseigne la géométrie projective, il met en évidence en 1897 le paradoxe de Burali-Forti. Celui-ci porte sur les nombres ordinaux, qui représentent les types d'ordre des ensembles bien ordonnés.

Notons Ord la collection de tous les ordinaux. Dans la théorie naïve des ensembles, si Ord est traitée comme un ensemble, son ordre a lui-même un type ordinal ; appelons cet ordinal oméga majuscule. Par construction, tout ordinal appartenant à Ord doit être strictement inférieur à oméga majuscule. Or oméga majuscule est un ordinal : puisque Ord les contient tous, il appartient aussi à Ord. On obtient alors la conséquence impossible : .

La contradiction ne fournit donc pas un plus grand ordinal. Elle montre que la totalité de tous les ordinaux ne peut pas être un ensemble du même type que ceux qu'elle rassemble. Le paradoxe révèle ainsi une limite de la théorie naïve des ensembles : certaines collections définissables ne peuvent pas être admises comme ensembles sans restriction.

Prenons la liste finie des quatre ordinaux 0, 1, 2 et 3. Elle permet de suivre le mécanisme sans prétendre contenir tous les ordinaux. La figure met en regard cette liste contrôlable et l'hypothèse qui produit la contradiction.

1. Les données sont les quatre ordinaux 0, 1, 2 et 3, rangés dans cet ordre.

2. Le type d'ordre de cette liste est l'ordinal 4. Il est strictement supérieur à chacun des quatre ordinaux annoncés, mais il ne figure pas dans la liste : aucune contradiction n'apparaît.

3. Remplaçons maintenant cette liste finie par la collection Ord supposée contenir tous les ordinaux. Son type d'ordre est nommé oméga majuscule.

4. Comme oméga majuscule est lui-même un ordinal, l'hypothèse « Ord contient tous les ordinaux » l'oblige à appartenir à Ord. Pourtant, sa définition l'oblige à être strictement supérieur à chaque membre de Ord, donc à lui-même.

5. Le contrôle consiste à comparer les deux cas. Pour 0, 1, 2 et 3, l'ordinal 4 reste hors de la liste. Pour la prétendue totalité, aucun ordinal ne peut rester dehors ; l'inégalité stricte se retourne alors contre oméga majuscule lui-même.

Dans un texte d'histoire des mathématiques, le nom Burali-Forti peut désigner la personne ou le paradoxe. Une date de vie ou Turin signale le mathématicien ; une collection de tous les ordinaux signale son paradoxe.

Lorsqu'une définition prétend rassembler « tous » les objets d'un certain type, le bon geste est de demander si le résultat devient lui-même un objet de ce type. Si l'appartenance du résultat à la collection, combinée à la propriété qui le place au-delà de chacun de ses membres, force une relation impossible, il faut renoncer à traiter la totalité comme un ensemble ordinaire.

Pour étudier les positions et les types d'ordre eux-mêmes, la notion de nombre ordinal est l'entrée adaptée. Pour examiner la forme logique d'une contradiction issue d'hypothèses apparemment recevables, la notion plus générale de paradoxe offre le meilleur recul.

Cesare Burali-Forti est la personne, née en 1861 et morte en 1931 ; le paradoxe de Burali-Forti est le raisonnement qu'il met en évidence en 1897. Un passage consacré à son enseignement à Turin relève de la biographie, tandis qu'un passage où tous les ordinaux conduisent à un ordinal plus grand que lui-même relève du paradoxe.

Une liste finie d'ordinaux ne déclenche pas le paradoxe. Pour 0, 1, 2 et 3, le type d'ordre 4 est extérieur à la liste. Le symptôme d'une fausse contradiction est d'exiger que 4 appartienne à une liste qui n'a jamais prétendu contenir tous les ordinaux.

La contradiction dépend de l'hypothèse qui traite la collection de tous les ordinaux comme un ensemble. Dans une théorie axiomatique des ensembles, cette totalité est considérée comme une classe propre, pas comme un ensemble. Il faut donc refuser l'étape qui lui attribue le statut d'ensemble ordinal.

L'expression « le plus grand ordinal » décrit la conséquence provisoire de l'hypothèse, non un objet qui existerait. Si un texte conclut que le paradoxe construit réellement un dernier ordinal, il inverse le verdict : la contradiction montre précisément que cette construction est illégitime.

Deux notions de l'index prolongent directement la lecture : l'une précise l'objet mathématique ordonné, l'autre replace la contradiction dans une famille logique plus large.

nombre ordinal précise comment les ordinaux décrivent les types d'ordre et pourquoi on peut toujours dépasser un ordinal donné.

paradoxe aide à reconnaître une contradiction et à distinguer son mécanisme de la conclusion fautive qu'elle réfute.