paradoxe de Cantor

Prenez trois objets, puis formez tous les groupes possibles avec eux, y compris le groupe vide et le groupe complet. Vous obtenez huit groupes, donc davantage que les trois objets de départ. Le même dépassement se produit pour tout ensemble, même infini : son ensemble de parties est toujours plus grand.

Le paradoxe apparaît si l'on imagine un ensemble qui contiendrait absolument tous les ensembles. Il devrait être imbattable en taille, alors que l'ensemble de ses propres parties le dépasserait encore.

Le paradoxe de Cantor est une antinomie de la théorie naïve des ensembles. Pour un ensemble appelé E, son ensemble des parties, noté P(E), réunit tous les sous-ensembles de E. Le cardinal mesure la taille d'un ensemble. Le théorème de Cantor affirme que le cardinal de E est strictement inférieur à celui de P(E) : . Cette affirmation vaut aussi lorsque E est infini.

Supposons maintenant qu'un ensemble universel U contienne tous les ensembles. Chaque partie de U étant elle-même un ensemble, elle appartient à U ; ainsi P(U) est inclus dans U. Cette inclusion interdit à P(U) d'avoir un cardinal supérieur à celui de U. Pourtant, le théorème de Cantor impose précisément . Les deux conclusions sont incompatibles.

L'antinomie est due à Georg Cantor dans les années 1890 et Bertrand Russell l'a formalisée sous ce nom dans Principles of Mathematics, en 1903. Dans une théorie axiomatique des ensembles, la conclusion se formule autrement : la classe de tous les cardinaux ne peut pas être un ensemble.

On rencontre ce paradoxe dans un raisonnement sur la taille des ensembles. Quatre marqueurs permettent de le reconnaître : un ensemble présenté comme universel, l'idée d'un plus grand cardinal, la formation de l'ensemble de toutes ses parties et deux comparaisons de taille incompatibles. Le support du raisonnement n'est donc ni un calcul ordinaire ni une simple liste : il met à l'épreuve l'hypothèse qu'une collection totale puisse elle-même être un ensemble.

La trace historique donnée par la source relie l'antinomie à Cantor dans les années 1890, au théorème de Cantor de 1891 et à sa formalisation par Russell en 1903.

La grandeur à suivre est le cardinal, c'est-à-dire la taille d'un ensemble. 1. Repérez l'ensemble auquel le raisonnement applique le théorème de Cantor. 2. Formez mentalement l'ensemble de ses parties. 3. Notez que le théorème rend ce nouvel ensemble strictement plus grand. 4. Vérifiez si une autre hypothèse le force pourtant à être inclus dans l'ensemble de départ.

La convention décisive est la distinction entre appartenance et inclusion. Si U contient tous les ensembles, chaque partie de U est un élément de U ; c'est pourquoi l'ensemble P(U), qui rassemble ces parties, est inclus dans U. L'œil peut croire que former des parties ne fait que réorganiser les mêmes éléments. Le bon réflexe consiste à compter des sous-ensembles dans un cas fini, puis à revenir à la comparaison des cardinaux.

Prenons l'ensemble E formé des trois éléments a, b et c. Les données sont donc : trois éléments distincts, le sous-ensemble vide, les sous-ensembles à un ou deux éléments et le sous-ensemble complet.

1. Écrivons le sous-ensemble vide : ∅.

2. Écrivons les trois sous-ensembles à un élément : {a}, {b} et {c}.

3. Ajoutons les trois sous-ensembles à deux éléments, puis l'ensemble complet : {a, b}, {a, c}, {b, c} et {a, b, c}.

4. Le total est exact : $\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid }=3\text{et}\mathrm{\mid }\mathcal{P}(E)\mathrm{\mid }=1+3+3+1=8|E|=3\backslash quad\backslash text\{et\}\backslash quad|\backslash mathcal\{P\}(E)|=1+3+3+1=8$. On contrôle le résultat en cochant une fois chacune des huit possibilités énumérées aux étapes 1 à 3.

Cet exemple fini rend visible que 3 est strictement inférieur à 8. Le théorème de Cantor généralise ce dépassement à tout ensemble. Appliqué à un hypothétique ensemble universel U, il contredit alors l'idée que U possède le plus grand cardinal possible.

Devant un argument qui invoque « l'ensemble de tous les ensembles », cherchez aussitôt ce qu'il devient après formation de son ensemble de parties. Si ce nouvel ensemble est simultanément plus grand et inclus dans le premier, l'hypothèse universelle est en cause.

Pour contrôler l'intuition sur un ensemble fini, énumérez ses parties sans doublon et comparez les deux nombres obtenus. Cette vérification concrète est préférable à une impression visuelle de taille.

Dans un cadre axiomatique, ne remplacez pas la classe de tous les cardinaux par un ensemble. La formulation en classe conserve l'idée d'une totalité sans réintroduire l'ensemble universel qui provoque la contradiction.

Le théorème de Cantor et le paradoxe de Cantor n'ont pas le même statut. Le premier donne, pour tout ensemble E, la comparaison stricte entre E et P(E). Le second apparaît quand cette comparaison est appliquée à un supposé ensemble universel. Si aucun ensemble universel n'est supposé, on utilise le théorème sans produire l'antinomie.

Le mot « paradoxe » ne réfute pas le théorème. Le symptôme est la coexistence de deux inégalités opposées. Il faut abandonner l'hypothèse de l'ensemble universel, et non la comparaison établie par le théorème de Cantor.

Un exemple à trois éléments n'est qu'une vérification. La comparaison entre 3 et 8 montre le mécanisme dans un cas fini, mais ne remplace pas le théorème, qui porte sur tout ensemble, fini ou infini.

Appartenir n'est pas être inclus. Une partie de U est un élément de P(U). Sous l'hypothèse que U contient tous les ensembles, cette même partie appartient aussi à U ; c'est l'ensemble de toutes ces parties, P(U), qui est alors inclus dans U.

La totalité des cardinaux change de statut dans le cadre axiomatique. La traiter encore comme un ensemble recrée le piège. Il faut conserver la formulation donnée par la source : la classe de tous les cardinaux ne peut pas être un ensemble.

Le théorème de Cantor permet d'approfondir le résultat qui déclenche l'antinomie et sa comparaison entre un ensemble et ses parties.

Le cardinal d'un ensemble précise la notion de taille employée à chaque étape du raisonnement.

L'article Georg Cantor : passer du fini à l'infini replace le nom associé au paradoxe dans le passage du fini à l'infini.