théorème de König - théorie des ensembles -

Imaginez deux colonnes de boîtes. Dans chaque ligne, la boîte de droite offre strictement plus de choix que celle de gauche. Le théorème compare alors deux manières de compter : réunir tous les choix de gauche, ou former toutes les combinaisons obtenues en choisissant une possibilité dans chaque boîte de droite.

Même avec une famille infinie, le total réuni à gauche reste strictement plus petit que l'ensemble des combinaisons de droite. Cette stricte différence est le cœur du théorème de König.

Le théorème de König est un résultat d'arithmétique cardinale attribué à Julius König. Un cardinal mesure la taille d'un ensemble. On considère un ensemble d'indices I et, pour chaque indice i, deux cardinaux a_i et b_i. La condition décisive est l'inégalité stricte a_i < b_i pour chaque i.

La somme cardinale réunit des ensembles de tailles a_i en les gardant disjoints. Le produit cardinal compte les fonctions qui choisissent, pour chaque indice i, un élément dans un ensemble de taille b_i. Sous ces hypothèses, le théorème affirme :

La conclusion reste stricte pour les cardinaux infinis. Cet énoncé cardinal se démontre sans supposer l'axiome du choix.

Soit I un ensemble d'indices. Pour chaque indice i appartenant à I, soient a_i et b_i deux cardinaux. Si a_i est strictement inférieur à b_i pour tout i, alors :

La somme et le produit sont ici ceux de l'arithmétique des cardinaux, et non des opérations sur des nombres réels.

Le résultat porte sur deux familles de cardinaux indexées par le même ensemble I. Chaque paire doit satisfaire a_i < b_i. Il faut également lire ∑ et ∏ comme la somme et le produit cardinaux : la première taille une réunion disjointe, le second un ensemble de choix coordonnés.

Si une seule paire ne vérifie pas l'inégalité stricte, le théorème ne s'applique pas. Par exemple, avec a₁ = b₁ = 2, son hypothèse échoue ; on doit alors comparer directement la somme et le produit, sans invoquer König. L'axiome du choix n'est pas une hypothèse supplémentaire de cet énoncé.

Prenons deux indices. Les cardinaux de gauche sont a₁ = 1 et a₂ = 2 ; ceux de droite sont b₁ = 2 et b₂ = 3. On vérifie bien 1 < 2 et 2 < 3.

1. Additionnons les cardinaux de gauche : 1 + 2 = 3.
2. Multiplions les cardinaux de droite : 2 × 3 = 6.
3. Comparons les résultats : 3 < 6.

Le schéma associé oppose les trois éléments de la réunion disjointe aux six couples possibles du produit. Le contrôle est refaisable en énumérant la grille : deux choix pour la première coordonnée et trois pour la seconde donnent exactement six couples. L'exemple fini illustre l'inégalité ; la portée essentielle du théorème concerne aussi les familles et les cardinaux infinis.

Pour vérifier un cas concret, on aligne d'abord les deux familles sur le même ensemble d'indices. On contrôle ensuite chaque inégalité a_i < b_i avant de comparer la somme à gauche et le produit à droite.

Lorsque les cardinaux sont infinis, un calcul numérique ordinaire ne suffit plus. On interprète alors la somme comme une réunion disjointe et le produit comme un ensemble de fonctions de choix ; c'est cette lecture en ensembles qui rend la comparaison pertinente.

Si les familles ne partagent pas le même index ou si une inégalité n'est pas stricte, on revient aux définitions de la somme et du produit cardinaux. Le théorème de König ne remplace pas cette comparaison directe hors de ses hypothèses.

Le théorème de König-Egerváry. Il concerne les couplages et les couvertures de sommets dans un graphe biparti. Ici, la présence de familles de cardinaux, d'une somme et d'un produit indique qu'il s'agit du théorème de König en théorie des ensembles.

Le théorème de König-Huygens. Celui-ci relève de la statistique et décompose une somme de carrés autour d'une moyenne. Un énoncé portant sur a_i < b_i et sur l'arithmétique cardinale ne désigne donc pas König-Huygens.

Le théorème de Cantor. Cantor compare un ensemble à son ensemble des parties. König compare deux familles, la somme des premiers cardinaux et le produit des seconds ; les objets mis en regard ne sont pas les mêmes.

Indice vide. Si I est vide, la somme cardinale vaut 0 et le produit vide vaut 1. La condition portant sur chaque indice est alors satisfaite sans vérification, et la conclusion devient 0 < 1.

Inégalité non stricte. Remplacer a_i < b_i par a_i ≤ b_i détruit la garantie. Avec un seul indice et a₁ = b₁ = 2, la somme et le produit valent tous deux 2.

Opérations ordinaires. Pour des cardinaux infinis, les signes ∑ et ∏ décrivent des constructions ensemblistes. Les traiter comme de simples additions et multiplications décimales masque précisément ce que le théorème compare.

Cadre axiomatique. La formulation cardinale donnée ici se démontre sans supposer l'axiome du choix. Elle ne doit donc pas être présentée comme équivalente à celui-ci.

L'axiome du choix éclaire le cadre logique annoncé par la formulation du théorème.

Le cardinal d'un ensemble précise la notion de taille utilisée dans chaque famille.

Le théorème de Cantor propose une autre comparaison fondamentale entre cardinaux, fondée sur l'ensemble des parties.