formule du crible de Poincaré

Dans un groupe de 100 personnes, 60 parlent anglais et 45 parlent espagnol. Les additionner donne 105, mais les 25 personnes bilingues ont alors été comptées deux fois. En retranchant ces 25 doublons, on obtient 80 personnes parlant au moins une des deux langues.

La formule du crible de Poincaré systématise cette correction. Elle additionne les groupes, retire leurs recouvrements deux à deux, rajoute ceux que cette soustraction aurait trop retirés, et poursuit en alternant les signes.

La formule du crible de Poincaré, ou principe d’inclusion-exclusion, calcule la probabilité qu’au moins un événement se réalise. On considère un nombre fini n d’événements, notés A₁, A₂, …, A_n, dans un même espace probabilisé. On additionne d’abord leurs probabilités individuelles. On soustrait ensuite les probabilités de toutes les intersections de deux événements, on ajoute celles des intersections de trois événements, puis on continue en alternant les signes.

Aucune hypothèse d’indépendance ni d’incompatibilité n’est requise : les intersections enregistrent précisément les dépendances et les recouvrements. Chaque intersection distincte doit toutefois être connue pour obtenir la valeur exacte par la formule complète. Le mécanisme corrige le fait qu’un résultat présent dans plusieurs événements est compté plusieurs fois dans la première somme.

Dans un cadre combinatoire, la même identité s’applique à des ensembles finis : la probabilité est remplacée par le cardinal, c’est-à-dire le nombre d’éléments. Elle donne alors le nombre d’éléments appartenant à l’union des ensembles.

Soient n événements A₁, …, A_n, avec n entier au moins égal à 1. Pour chaque taille r, on additionne les probabilités des intersections formées par r événements distincts :

Les intersections d’un nombre impair d’événements sont ajoutées et celles d’un nombre pair sont retranchées. Pour des ensembles finis, la même égalité vaut en remplaçant chaque probabilité par un cardinal.

La formule complète s’applique à une famille finie d’événements définis dans le même espace probabilisé. Il faut connaître la probabilité de chaque intersection non vide susceptible d’apparaître, jusqu’à l’intersection des n événements. Les événements peuvent se recouvrir, être dépendants ou même être identiques. Dans la version combinatoire, les ensembles et leur union doivent être finis si l’on travaille avec leurs cardinaux ordinaires.

Si l’on connaît seulement P(A) et P(B), mais pas P(A ∩ B), la probabilité exacte de A ∪ B reste indéterminée : des recouvrements différents donnent des unions différentes. Il faut alors obtenir la donnée manquante ou se contenter de bornes. Pour une famille infinie, on ne remplace pas directement n par l’infini dans la somme alternée ; un passage à la limite doit être justifié.

On choisit au hasard une personne parmi un groupe de 100. L’événement A signifie « la personne parle anglais » et l’événement B « la personne parle espagnol ».
Données : 60 personnes sont dans A ; 45 sont dans B ; 25 sont dans A ∩ B.

1. L’addition 60 + 45 = 105 compte chaque personne bilingue une fois dans A et une fois dans B.

2. On retranche donc l’intersection une fois : 60 + 45 − 25 = 80. Ainsi, 80 personnes parlent au moins une des deux langues et P(A ∪ B) = 80/100 = 0,8. Le diagramme associé répartit les 100 personnes entre quatre zones et rend ce double comptage visible.

3. Contrôle indépendant. Parmi les 60 anglophones, 60 − 25 = 35 ne parlent que l’anglais. Parmi les 45 hispanophones, 45 − 25 = 20 ne parlent que l’espagnol. Les zones exclusives donnent bien 35 + 25 + 20 = 80, tandis que les 20 autres personnes ne parlent aucune des deux langues.

Dans une enquête, on emploie le crible pour compter les personnes qui cochent au moins une catégorie lorsque les réponses peuvent se chevaucher. Si les catégories sont incompatibles, une simple addition suffit.

En probabilités, la formule calcule le risque qu’au moins un événement parmi plusieurs survienne. Le geste décisif consiste à relever aussi les probabilités des intersections, et pas seulement celles des événements isolés.

En dénombrement, elle compte les objets satisfaisant au moins une propriété interdite ou recherchée. Une partition en classes disjointes est souvent plus courte lorsqu’elle est disponible ; le crible devient utile quand les propriétés se recouvrent.

Événements indépendants et événements incompatibles. Deux événements indépendants vérifient P(A ∩ B) = P(A)P(B), tandis que deux événements incompatibles ont une intersection vide. Le crible accepte les deux situations, mais le terme d’intersection ne se calcule pas de la même façon.

Somme des probabilités et probabilité de l’union. L’égalité P(A ∪ B) = P(A) + P(B) n’est vraie que si A et B sont incompatibles. Dans l’exemple des langues, 0,60 + 0,45 dépasse 1 précisément parce que 0,25 doit être retranché.

Formule exacte et simple majoration. Additionner seulement P(A_i) fournit une borne supérieure pour la probabilité de l’union, pas toujours sa valeur. La formule du crible devient exacte parce qu’elle intègre successivement tous les recouvrements.

Deux événements. L’alternance s’arrête après l’intersection : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Ajouter un terme d’ordre trois dans ce cas signalerait que la famille d’événements a été mal identifiée.

Troncature de la somme. Avec beaucoup d’événements, arrêter le calcul après quelques ordres ne donne généralement pas l’égalité. Les sommes partielles fournissent des bornes alternées, dites inégalités de Bonferroni : après un nombre impair d’ordres, on obtient une borne supérieure ; après un nombre pair, une borne inférieure.

Intersections oubliées ou répétées. Pour trois événements, l’intersection triple appartient aussi à chacune des trois intersections doubles. Si on soustrait ces dernières sans rajouter l’intersection triple, ses éléments sont retirés une fois de trop. Il faut classer les termes par taille de sous-famille et compter chaque intersection une seule fois.

Famille infinie. La formule énoncée porte sur un nombre fini d’événements. Pour une union dénombrable, les sommes partielles peuvent croître en complexité et la série alternée ne se manipule pas sans conditions ; on étudie d’abord les unions finies, puis un passage à la limite adapté.

Intersection — Revoir l’opération qui isole les éléments communs et fournit chacun des termes correctifs du crible.

analyse combinatoire — Situer l’inclusion-exclusion parmi les méthodes qui comptent des configurations finies sans les énumérer une à une.

Les multiples facettes du dénombrement — Élargir la perspective vers d’autres stratégies de comptage et choisir celle qui épouse la structure du problème.