Pour se demander combien on considère d’objets, il est nécessaire de définir ce que l’on compte. Ce choix doit être explicité avant tout. Lors d’un recensement de population, par exemple, d’importants enjeux politiques et économiques peuvent en être dépendants (voir l’article suivant de ce dossier).
Une fois cette précision apportée, la notion d’ensemble, au sens mathématique du terme, n’est plus très loin. Mais la question de connaître le nombre d’éléments d’un ensemble n’est pas toujours facile. Si, par exemple, on s’intéresse au nombre de chocolats de la boîte que l’on vous a offerte, il suffit de les énumérer un à un pour en saisir la quantité (on dira que l’on a compté les chocolats). En revanche, si l’on se demande combien un établissement scolaire accueille d’élèves, on peut préférer déterminer le nombre d’élèves dans chaque classe puis additionner ces effectifs. Et quand les objets à dénombrer ne sont pas déjà organisés en collections plus petites, on peut décider de le faire, comme action préparatoire au dénombrement. Enfin, certains ensembles ne se laissent pas facilement saisir, même par une modélisation mathématique. On peut être amené à renoncer à donner le nombre exact de leurs éléments et à en chercher une estimation, par exemple avec des méthodes statistiques.
Dénombrer en énumérant les objets est l’acte qui se trouve à la base du concept même de nombre. On considère un premier objet, puis un nouveau et ensemble ils sont deux, encore un nouveau, ce qui donne trois, et ainsi de suite. Marcia Ascher indique dans Mathématiques d’ailleurs (Seuil, 1998) que cette « capacité de compter est un universel humain lié au langage ». Le processus d’énumération n’a pas de limite et, pour ne pas être limité dans la désignation des nombres, leurs noms sont souvent construits sur la base de propriétés arithmétiques. Par exemple, en français, l’essentiel des noms des nombres sont construits en référence à la numération décimale.
L’usage de la combinatoire --------------------------
Quand la collection à dénombrer est trop grande, qu’il n’est pas possible ou trop fastidieux de prendre en compte, un à un, chacun de ses éléments, on peut essayer de s’appuyer sur une organisation particulière de ces éléments. C’est l’un des objectifs de l’analyse combinatoire. On est alors amené à utiliser des propriétés des ensembles possédant un nombre fini d’éléments.