Para determinar cuántos objetos se consideran, es necesario definir qué se cuenta. Ante todo, esta elección debe explicitarse. En un censo de población, por ejemplo, de ella pueden depender importantes cuestiones políticas y económicas (véase el siguiente artículo de este dosier).
Una vez hecha esta precisión, aparece enseguida la noción de conjunto, en el sentido matemático del término. Pero determinar el número de elementos de un conjunto no siempre es fácil. Si, por ejemplo, nos interesa saber cuántos bombones hay en la caja que nos han regalado, basta enumerarlos uno a uno para conocer su cantidad (diremos que hemos contado los bombones). En cambio, si nos preguntamos cuántos alumnos acoge un centro escolar, quizá prefiramos determinar el número de alumnos de cada clase y sumar después esos efectivos. Y cuando los objetos que hay que contar no están ya organizados en colecciones más pequeñas, podemos decidir hacerlo como paso previo al recuento. Por último, algunos conjuntos no son fáciles de captar, ni siquiera mediante un modelo matemático. Puede ser necesario renunciar a dar el número exacto de sus elementos y buscar una estimación, por ejemplo mediante métodos estadísticos.
Contar enumerando los objetos es la base misma del concepto de número. Consideramos un primer objeto, luego otro y, juntos, son dos; otro más da tres, y así sucesivamente. Marcia Ascher señala en Mathématiques d’ailleurs (Seuil, 1998) que esta «capacidad de contar es un universal humano ligado al lenguaje». El proceso de enumeración no tiene límite y, para poder designar sin límite los números, sus nombres suelen construirse a partir de propiedades aritméticas. Por ejemplo, en francés, la mayoría de los nombres de los números se construyen en referencia al sistema de numeración decimal.
El uso de la combinatoria --------------------------
Cuando la colección que hay que contar es demasiado grande y no resulta posible, o es demasiado laborioso, tener en cuenta uno a uno todos sus elementos, podemos tratar de apoyarnos en una organización particular de estos. Ese es uno de los objetivos del análisis combinatorio. Entonces recurrimos a propiedades de los conjuntos con un número finito de elementos.