Per chiedersi quanti oggetti si prendono in considerazione, è necessario definire che cosa si conta. Questa scelta va anzitutto esplicitata. In un censimento della popolazione, per esempio, possono dipenderne importanti questioni politiche ed economiche (vedi l’articolo seguente di questo dossier).
Fatta questa precisazione, la nozione di insieme, nel senso matematico del termine, è ormai vicina. Ma stabilire il numero di elementi di un insieme non è sempre facile. Se, per esempio, ci interessa sapere quanti cioccolatini contiene la scatola che vi è stata regalata, basta enumerarli uno a uno per determinarne la quantità (diremo di aver contato i cioccolatini). Se invece ci chiediamo quanti studenti accoglie un istituto scolastico, possiamo preferire determinare il numero di studenti in ogni classe e poi sommare il numero di studenti delle singole classi. E quando gli oggetti da contare non sono già organizzati in raccolte più piccole, possiamo decidere di farlo come fase preparatoria del conteggio. Infine, alcuni insiemi non si lasciano cogliere facilmente, neppure mediante una modellizzazione matematica. Può allora essere necessario rinunciare a darne il numero esatto di elementi e cercarne una stima, per esempio con metodi statistici.
Contare enumerando gli oggetti è l’atto alla base del concetto stesso di numero. Si considera un primo oggetto, poi un altro e insieme sono due, poi ancora un altro, che fa tre, e così via. Marcia Ascher indica in Matematiche da altrove (Seuil, 1998) che questa «capacità di contare è un universale umano legato al linguaggio». Il processo di enumerazione non ha limiti e, per non essere limitati nella denominazione dei numeri, i loro nomi sono spesso costruiti sulla base di proprietà aritmetiche. Per esempio, in francese la maggior parte dei nomi dei numeri è costruita con riferimento alla numerazione decimale.
L’uso della combinatoria --------------------------
Quando la raccolta da contare è troppo grande e non è possibile, o è troppo laborioso, prendere in considerazione uno per uno tutti i suoi elementi, possiamo cercare di basarci su una loro particolare organizzazione. È uno degli obiettivi dell’analisi combinatoria. Si ricorre allora a proprietà degli insiemi con un numero finito di elementi.