William Burnside avrebbe messo in evidenza un’interessante formula combinatoria nell’ambito dei suoi lavori sulla teoria dei gruppi. Il lemma può essere enunciato nel modo seguente:
Siano dati un insieme E di oggetti e un gruppo G di permutazioni che agisce su E. Due oggetti di E si dicono diversi quando nessuna delle permutazioni del gruppo trasforma uno nell’altro. Il numero di oggetti «diversi» è allora la media del numero di oggetti che restano invarianti applicando tutte le trasformazioni di G.
Il risultato si verifica facilmente in alcuni casi semplici, come il conteggio dei domino (vedi più avanti). Il suo impiego è però particolarmente utile quando un conteggio diretto richiede di esaminare troppi casi distinti.
Dai domino alle colorazioni --------------------------
In un gioco del domino, ciascuna casella reca da 0 a 6 punti. Due domino non sono considerati diversi se uno si ottiene dall’altro mediante la rotazione R di 180 gradi. Si contano quindi sette domino diversi in cui una o due caselle recano 0 punti (sono vuote), sei domino diversi in cui una o due caselle recano 1 punto (ma nessuna casella reca 0 punti), e così via fino all’unico domino le cui due caselle recano 6 punti.