William Burnside habría puesto de manifiesto una interesante fórmula combinatoria en sus trabajos sobre teoría de grupos. El lema puede enunciarse así:
Sea E un conjunto de objetos y G un grupo de permutaciones que actúa sobre E. Se dice que dos objetos de E son distintos cuando ninguna de las permutaciones del grupo transforma uno de ellos en el otro. El número de objetos «distintos» es entonces la media del número de objetos que permanecen invariantes al aplicar todas las transformaciones de G.
El resultado se comprueba fácilmente en varios casos sencillos, como el recuento de fichas de dominó (véase más abajo). Pero su uso resulta especialmente pertinente cuando un recuento directo exige examinar demasiados casos distintos.
De las fichas de dominó a las coloraciones
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En un juego de dominó, cada casilla lleva de 0 a 6 puntos. Dos fichas no se consideran distintas si una se obtiene de la otra mediante la rotación R de 180 grados. Así, hay siete fichas distintas con una o dos casillas de 0 puntos (vacías), seis fichas distintas con una o dos casillas de 1 punto (pero ninguna casilla de 0 puntos), y así sucesivamente hasta la única ficha cuyas dos casillas llevan 6 puntos.
