Immaginate un professore che comunichi alla classe che la media dell’ultimo compito è 12, ma non riconsegni gli elaborati. Che cosa possono dedurne gli studenti? A dire il vero, ben poco: è noto che la media è un indicatore statistico assai imperfetto, che fornisce pochissime informazioni sulla distribuzione dei dati. C’è tuttavia un’informazione certa: almeno uno studente o una studentessa ha preso un voto maggiore o uguale a 12 (e, simmetricamente, qualcuno ha preso un voto minore o uguale a 12); infatti, se tutti avessero preso un voto strettamente inferiore a 12, lo sarebbe stata anche la media di tutti quei voti, cioè quella annunciata dal professore.
È un fenomeno piuttosto elementare da comprendere: in ogni insieme di dati, ce n’è sempre almeno un dato maggiore o uguale alla media. Probabilmente si tenderebbe a trascurare questo fatto, se Paul Erdős non ne avesse fatto il cuore di uno strumento di formidabile efficacia: il metodo probabilistico.
Troppe strette di mano ------------------------
Per comprendere il principio di questo metodo, analizziamo un esempio a partire da un risultato classico. Il teorema delle strette di mano (detto anche «teorema degli amici e degli estranei») afferma che, mettendo 6 persone in una stanza, se ne possono sempre trovare 3 che si sono strette tutte la mano fra loro, oppure 3 tra le quali non vi è stata alcuna stretta di mano\*. Questo risultato fa ormai parte del folklore matematico e vi invitiamo a dimostrarlo, se non l’avete mai incontrato prima. Potete anche verificare che il numero 6 in questo enunciato è ottimale, esibendo una configurazione di 5 persone che non soddisfi la proprietà, ossia tale che, per ogni gruppo di 3 persone scelto fra le 5, ce ne siano sempre 2 che si sono strette la mano e 2 che non se la sono stretta, da cui l’impossibilità di trovare un gruppo di 3 persone che si siano tutte strette la mano o un gruppo di 3 fra le quali non vi sia alcuna stretta di mano. Una simile configurazione può essere costruita esplicitamente.
(\* Si può anche formulare così: in un gruppo di 6 persone, se ne possono sempre trovare 3 che si conoscono oppure 3 che non si conoscono.)