Una fonte privilegiata di curiosità per ogni aritmetico è la successione dei numeri primi. Matematico eccezionale, Erdős non faceva certo eccezione sotto questo aspetto. Ricordiamo che un numero primo è un numero intero divisibile soltanto per 1 e per sé stesso. Il numero di persone in un gruppo è dunque primo se è impossibile formare più squadre con lo stesso numero di componenti. Per questo motivo, il numero 1 non è primo. C’è una ragione fondamentale: ogni numero intero maggiore di 1 può essere rappresentato in modo unico come prodotto di numeri primi, a meno dell’ordine dei fattori; ora, se il numero 1 fosse primo, si potrebbe aggiungere al prodotto un numero arbitrario di fattori 1 e la rappresentazione non sarebbe unica.
Fin dalla notte dei tempi, la struttura della successione dei numeri primi, 2, 3, 5, 7, 11, … incuriosisce l’umanità. Esistono molte dimostrazioni del fatto che i numeri primi sono infiniti, un risultato che si trova già in Euclide (verso il − 300). La più breve si riduce a quattro caratteri: n! + 1. Infatti, questo numero intero (dove n! indica il fattoriale di n, cioè il prodotto di tutti gli interi da 1 a n) non è divisibile per alcun numero minore di n: il suo più piccolo fattore primo è dunque strettamente maggiore di n. Poiché n è arbitrariamente grande, il gioco è fatto.
Sulla distanza fra due numeri primi
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Facciamo un balzo di tre millenni e mezzo: il matematico russo Pafnutij Čebyšëv (1821-1894) confermò nel 1851 la congettura del francese Joseph Bertrand (1822-1900): fra un intero maggiore di 1 e il suo doppio c’è sempre un numero primo. La dimostrazione di Čebyšëv impiegava una tecnica sofisticata. Il primo articolo di Erdős, pubblicato all’età di 19 anni, ritrovava questo risultato con una notevole economia di mezzi.
