Tangente: Su quali argomenti avete lavorato insieme?**
Gérald Tenenbaum: Abbiamo lavorato soprattutto sulla struttura moltiplicativa dei numeri interi. Quando iniziai a fare ricerca, Erdős era una delle rare persone al mondo a possedere conoscenze sull’argomento oggi noto come anatomia dei numeri.
Fin dai miei primi passi nella disciplina, mi sono posto il problema di descrivere un intero «normale» (vedi il riquadro qui sotto). La nozione di normalità nella teoria dei numeri corrisponde a quella di variabile «quasi certa» nella teoria delle probabilità. Ciò implica di considerare successioni di interi (o insiemi di interi) e non numeri particolari.
La successione dei numeri interi n che hanno meno di ln n divisori ha densità 1 (dove ln indica la funzione logaritmo naturale). Lo stesso vale per la successione dei numeri interi n che hanno almeno (1/2) ln(ln n) fattori primi.
Grazie a un celebre teorema di Erdős e Kac del 1939, sappiamo che la distribuzione dei fattori primi di un intero normale segue una legge di Gauss. La distribuzione dei divisori è invece molto più complessa e presenta numerosi aspetti ancora irrisolti. Dopo la mia tesi, lavorai per cinque anni alla congettura di Erdős secondo cui un intero normale possiede sempre due divisori distinti il cui rapporto è compreso fra 1 e 2. Questa proprietà dei divisori vale, per esempio, per 15, divisibile per 3 e per 5, ma non per 21, i cui divisori sono 1, 3, 7 e 21. In un articolo pubblicato nel 1984, scritto con il tedesco Helmut Maier, riuscimmo a confermare la congettura. È noto che Erdős metteva in palio un premio per alcune delle sue congetture. Per questo teorema ci versò 650 $.
