Tangente: ¿Sobre qué temas trabajaron juntos?**
Gérald Tenenbaum: Trabajamos sobre todo sobre la estructura multiplicativa de los números enteros. Cuando empecé a investigar, Erdős era una de las pocas personas en el mundo que disponían de conocimientos sobre el tema conocido actualmente como anatomía de los números.
Desde mis primeros pasos en esta disciplina, me planteé la cuestión de describir un entero «normal» (véase el recuadro de abajo). La noción de normalidad en teoría de números corresponde a la de variable «casi segura» en teoría de la probabilidad. Esto implica considerar sucesiones de enteros (o conjuntos de enteros), y no números particulares.
La sucesión de números enteros n que tienen menos de ln n divisores tiene densidad 1 (donde ln es la función logaritmo neperiano). Lo mismo ocurre con la sucesión de números enteros n que tienen al menos (1/2) ln(ln n) factores primos.
Gracias a un célebre teorema de Erdős y Kac de 1939, sabemos que la distribución de los factores primos de un entero normal sigue una distribución de Gauss. En cambio, la distribución de los divisores es mucho más compleja y presenta numerosos aspectos aún no esclarecidos. Tras mi tesis, trabajé durante cinco años en la conjetura de Erdős según la cual un entero normal siempre posee dos divisores distintos cuya razón está comprendida entre 1 y 2. Esta propiedad de los divisores se verifica, por ejemplo, para 15, divisible por 3 y por 5, pero no para 21, cuyos divisores son 1, 3, 7 y 21. En un artículo publicado en 1984, escrito en colaboración con el alemán Helmut Maier, pudimos confirmar la conjetura. Es sabido que Erdős ofrecía premios por resolver algunas de sus conjeturas. Nos pagó 650 $ por este teorema.
