Los números primos nos intrigan y fascinan desde la Antigüedad, quizá porque los llevamos dentro, si damos crédito al experimento que Karen Wynn realizó en 1992 con bebés de entre 5 y 7 meses. Desde la primera infancia, el concepto de número parece arraigado en el cerebro humano.
Un objeto y luego un segundo
se colocan detrás de
un obstáculo que, una vez retirado,
deja ver claramente dos objetos.
El bebé espera este resultado:
su atención no se mantiene
fijada durante mucho tiempo.
Este experimento es similar
al anterior, salvo que antes de
retirar el obstáculo, la experimentadora
sustrae discretamente
uno de los dos objetos;
por tanto, solo queda uno.
La atención del bebé permanece entonces fija
durante varias decenas de segundos.
Entre los números naturales se encuentran los números primos: aquellos que, como 2, 3, 5, 7 o 2017, no son divisibles por ningún otro. Godfrey Hardy se dirigía así, en 1922, a sus colegas físicos:
> «Es el matemático quien mantiene el contacto más directo con la realidad. […] 317 es un número primo no porque lo pensemos o porque nuestra mente esté constituida de cierta manera, sino porque así es, porque la realidad matemática está hecha así.»
Los primeros resultados sobre los números primos se deben a Euclides (hacia –300): todo número entero puede expresarse como producto de números primos. Podemos ver, por tanto, los números primos como los ladrillos elementales de los que están formados todos los demás enteros. Además, la descomposición de un entero en factores primos es única; esta es, por convención y comodidad, la razón por la que se excluye el 1 de la lista de números primos. Por último, Euclides demuestra que existe una infinidad de números primos.
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Contar, una actividad humana
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El estudio de la sucesión de los números primos apasionó a Paul Erdős durante toda su vida. Nacido a orillas del Danubio, en Budapest, el 26 de marzo de 1913, mientras sus dos hermanas mayores, Magda y Clara, morían de escarlatina, Erdős fue educado principalmente en casa por su madre, Anna, profesora de matemáticas. Mantendría con ella, durante toda su vida, una relación simbiótica.
Su producción científica fue excepcional: más de mil quinientos artículos y más de quinientos colaboradores en teoría de números, análisis combinatorio, teoría de grafos, geometría de números, probabilidades, análisis matemático y teoría de conjuntos. Erdős no solo sentía curiosidad por todo, sino que además era extremadamente generoso al compartir sus ideas; para él, las matemáticas eran un bien común.
Erdős tenía un don particular: condensar toda la dificultad de un problema general en una formulación concreta. Aún hoy descubrimos, con asombro, que sus resultados, así como los métodos que puso en marcha, incluso en problemas en apariencia muy específicos, son en realidad extremadamente profundos y fecundos. Murió en 1996, solo en una habitación de hotel: una paradoja final para quien siempre estuvo rodeado de colegas matemáticos.
A los 18 años, Erdős comenzó sus investigaciones bajo la dirección de Leopold Fejér (1880–1959). Se interesó por el siguiente problema —el famoso postulado de Bertrand—, planteado por Joseph Bertrand a mediados del siglo XIXe: ¿existe siempre un número primo entre un número entero n y su doble, 2n? En 1850, Pafnouti Tchebychev logró confirmar esta hipótesis mediante una demostración técnicamente difícil. En 1931, Erdős ofreció una demostración más sencilla y directa. Fue el primer logro destacado de este jovencísimo matemático.
Una de las grandes cuestiones de la teoría de números es la siguiente: ¿cuántos números primos menores que un número dado x > 0 existen? Denotamos este número por p(x). Como no ha sido posible hallar una fórmula exacta y utilizable, se ha intentado, más modestamente, aproximar p(x).
A partir de observaciones heurísticas, Adrien-Marie Legendre (1752–1833) y Carl Friedrich Gauss (1777–1855) habían conjeturado que p(x) es «próximo» a x / ln(x), donde ln designa el logaritmo neperiano (véase nuestro dossier sobre los logaritmos en este número). De ello se deduce una ley cuantitativa de rarefacción de los números primos.
En 1896, la conjetura fue demostrada por fin e independientemente por Jacques Hadamard (1865-1963) y Charles-Jean de La Vallée-Poussin (1866-1962). Las dos demostraciones propuestas recurren, sin embargo, al análisis complejo. Surge entonces una cuestión importante: ¿puede encontrarse una demostración «elemental» de este resultado, en el sentido de que se limite al análisis real sin recurrir nunca a los números complejos?
En 1949, Paul Erdős y Atle Selberg produjeron una demostración de este tipo, resolviendo así la cuestión de los respectivos estatutos del análisis complejo y del análisis real: aunque todavía puede decirse, con Hadamard, que «el camino más corto entre dos cantidades reales pasa necesariamente por el plano complejo», no cabe establecer por ello una jerarquía entre ambas teorías.
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La aparición de las probabilidades
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En 1934, el joven Erdős abandonó Hungría para ir a Cambridge. Allí conoció a Hardy y habló con él de los resultados que este había obtenido en 1917 junto con el prodigio indio Srinivasa Ramanujan (1887-1920). Hardy y Ramanujan se interesaron por la factorización de un entero «elegido al azar». ¿Cuántos factores primos posee ese entero? Cabe esperar que un número «elegido al azar» sea divisible por 2 una de cada dos veces, por 3 una de cada tres, por 5 una de cada cinco… Llamaremos normal a un entero de este tipo. En particular, un número normal no es ni un cuadrado ni un número primo.
En 1917, Hardy y Ramanujan publicaron un artículo que puede considerarse el acta de nacimiento de la teoría probabilística de números. En él se encuentra el siguiente resultado: en promedio, un entero tiene ln(ln n) factores primos. Además, este valor medio es también el valor normal. Dicho de otro modo, el número de factores primos de un entero «elegido al azar» depende estadísticamente solo de su tamaño, es decir, de su orden de magnitud. ¡Es algo verdaderamente espectacular y, cuando menos, contrario a la intuición!
Cinco años después de conocer a Hardy, en 1939, Erdős se encontraba en Estados Unidos, en Princeton (Nueva Jersey). Allí conoció a Marc Kac (1914-1984), un matemático de origen polaco convencido de que el resultado de Hardy y Ramanujan ocultaba en realidad una ley gaussiana: según él, la distribución de los factores primos de un entero «elegido al azar» debía seguir una curva de Gauss (véase Tangente 149). Unos meses después, Erdős y Kac demostraron este resultado. Más precisamente, si F(n) designa el número de factores primos de n y denotamos por F la función de distribución gaussiana, definida por
entonces la probabilidad de que F(n) sea menor que se aproxima a F(t) a medida que n crece. Erdős y Kac pusieron de manifiesto un modelo de curva de Gauss a partir de los solos números enteros. Así, los números naturales presentan comportamientos que pueden describirse de forma natural mediante leyes probabilísticas clásicas introducidas en contextos ajenos a la teoría de números…
Cabe preguntarse entonces qué fenómenos probabilísticos pueden modelizarse a partir de la sola estructura multiplicativa de los números enteros. El movimiento browniano, que puede describirse en una primera aproximación como el movimiento, en un fluido, de una partícula sometida únicamente a los choques con las pequeñas moléculas de ese fluido, es un objeto probabilístico fundamental. También responde a una modelización basada en la distribución de los divisores de los enteros.
La cantidad
mide el área
bajo la famosa
curva de campana.
Simulación
de un movimiento
browniano.
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Ideas de gran actualidad
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En 1946, Erdős obtuvo otro resultado asombroso al estudiar de nuevo la descomposición en factores primos de un entero n normal. Al escribir n = p1 p2 … *pk, donde p*1 ≤ p2 ≤… ≤ *pk designan los factores primos, entonces ln(ln pj ) es «cercano» a j (para 1 ≤ j ≤ k). Es casi increíble: ¿por qué el duodécimo factor primo de un entero normal n habría de ser «cercano» a ln (ln 12)? Así pues, la estructura multiplicativa interna de n* depende estadísticamente solo de su tamaño.
Las ideas probabilísticas surgidas de los resultados de Hardy-Ramanujan y de Erdős-Kac han alimentado toda la investigación en el ámbito de la teoría probabilística de números hasta hoy. La famosa conjetura —todavía abierta— de los números primos gemelos, según la cual existe una infinidad de números primos p tales que p + 2 también es un número primo, ha experimentado avances recientes. En 2013, en un artículo brillante, Yitang Zhang demostró (véase Tangente 153) que existe una infinidad de pares de números primos (p, q) tales que la diferencia | p – q | es inferior a 70 000 000. Unos meses después, James Maynard y, de forma independiente, Terence Tao simplificaron la demostración. El proyecto colaborativo Polymath8 permitió después reducir la cota de 70 000 000 a 246… que, sin embargo, sigue estando muy lejos del valor conjetural de 2, del que hay razones para pensar que permanecerá inalcanzable mientras no se introduzcan otras ideas nuevas.
