En la jungla de los números enteros encontramos numerosas especies. Cabe citar los números primos, que fascinan desde siempre; los números perfectos, muy escasos; los números deficientes y los números abundantes, entre los que hay varias familias que han interesado a diversos matemáticos, en particular a Erdős.
Perfectos y deficientes --------------------
Un número perfecto es un número entero igual a la suma de sus divisores propios (todos los divisores de n, salvo n mismo; recordemos que 1 forma parte de los divisores propios). Los primeros de la serie son los números 6, 28, 486, 8128.... Por ejemplo, comprobamos que 6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, etc. Actualmente solo se conoce un número finito de ellos. Los números perfectos pares están relacionados con los números de Mersenne *Mp = 2 p – 1 que son primos. Actualmente se conocen cincuenta y dos. En efecto, Leonhard Euler (1707-1783) demostró que todo número perfecto par es de la forma Mp (Mp +1)/2, con Mp primo, lo que exige que p* sea primo. En cuanto a los números perfectos impares, se conjetura… ¡que no existen! Si existiera alguno, debería ser mayor que 101500 y tener más de cien factores primos.
Los números deficientes son los números enteros n cuya suma de divisores propios es estrictamente menor que n. Todos los números primos son deficientes, pues su único divisor propio es 1, pero no son los únicos: por ejemplo, 4, 8, 9, 10 y 14 también son números deficientes. Por supuesto, hay una cantidad infinita de ellos. Su densidad, es decir, la proporción de números deficientes entre los números enteros, es ligeramente superior al 75 %, según un resultado de 1998 del francés Marc Deléglise.
Los números abundantes son los números enteros que no son ni perfectos ni deficientes, es decir, los enteros n cuya suma de divisores propios es estrictamente mayor que n. Los primeros son 12, 18, 20, 24, 30, 36… Todos los números abundantes son compuestos y, a la vista de los primeros valores, podría pensarse que todos son pares: no es así, y 945 es el menor número abundante impar. Por supuesto, hay una infinidad de números abundantes y su densidad es ligeramente inferior al 25 %.