Erdős planteó numerosos problemas relacionados con la geometría y, entre ellos, algunos tienen enunciados relativamente sencillos. He aquí dos ejemplos... pero eso no significa que estén completamente resueltos.
El número de distancias distintas
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Consideremos un polígono convexo (es decir, sin ángulos entrantes) de nueve vértices y calculemos las longitudes de sus lados y diagonales: obtenemos así un conjunto de números positivos. En el peor de los casos, este conjunto contiene 36 números diferentes (9 lados y 27 diagonales) y, en el mejor de los casos, el eneágono (polígono de 9 vértices) regular solo tiene 4. En uno de sus últimos artículos, fechado en 1996, Paul Erdős se preguntó cuáles eran las configuraciones de nueve puntos que permitían obtener únicamente 5 longitudes distintas y concluyó que solo había dos posibilidades: o bien los nueve puntos se elegían entre los vértices de un decágono (polígono de 10 vértices) regular, o bien se elegían entre los vértices de un endecágono (polígono de 11 vértices) regular.
A la izquierda: los 9 puntos en el decágono. A la derecha: los 9 puntos en el endecágono.
