Erdős ha proposto numerosi problemi di geometria e alcuni di essi hanno enunciati relativamente semplici. Eccone due esempi... ma non per questo sono stati risolti del tutto.
Il numero di distanze distinte
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Considerate un poligono convesso (cioè senza angoli rientranti) con nove vertici, poi calcolate le lunghezze dei suoi lati e delle sue diagonali: ottenete così un insieme di numeri positivi. Nel caso peggiore, questo insieme contiene 36 numeri diversi (9 lati e 27 diagonali) e, nel caso migliore, quello dell’ennagono (poligono con 9 vertici) regolare, soltanto 4. In uno dei suoi ultimi articoli, datato 1996, Paul Erdős si chiese quali fossero le configurazioni di nove punti che consentivano di ottenere soltanto 5 lunghezze distinte e concluse che esistevano solo due possibilità: o i nove punti erano scelti fra i vertici di un decagono (poligono con 10 vertici) regolare, oppure fra i vertici di un endecagono (poligono con 11 vertici) regolare.
A sinistra: i 9 punti nel decagono. A destra: i 9 punti nell’endecagono.
