Quando ci si trova all’interno di un triangolo, è chiaro che si è più vicini ai lati che ai vertici, ma di quanto? Nel 1935 Erdős propose la seguente congettura: la media delle distanze dai lati è minore o uguale alla metà della media delle distanze dai vertici, e l’uguaglianza si ha solo se il triangolo è equilatero e ci si trova nel suo centro.
Secondo la congettura di Erdős, per qualunque punto M interno al triangolo ABC, la media (MA’ + MB’ + MC’)/3 delle distanze di M dai lati del triangolo è minore o uguale alla metà della media (MA + MB + MC)/3 delle distanze dai vertici.
Proprio per il triangolo equilatero, fin dal 1649, grazie al teorema di Viviani, si sa che la media delle distanze dai lati di un punto interno è costante. Scegliendo come punto interno M il baricentro del triangolo, che coincide con l’ortocentro, si verifica facilmente che questa costante è pari a un terzo dell’altezza. Un altro risultato del 17º secolo afferma che la media delle distanze dai vertici raggiunge il proprio minimo stretto in un punto detto punto di Fermat (l’unico punto dal quale i vertici del triangolo si vedono sotto angoli di 120°), che nel caso del triangolo equilatero coincide con il nostro precedente punto M. Per la proprietà del baricentro, questo minimo è pari a due terzi dell’altezza e la congettura risulta dunque dimostrata in questo caso.
