Cuando uno se encuentra dentro de un triángulo, está claro que está más cerca de los lados que de los vértices, pero ¿cuánto más? En 1935, Erdős formuló la siguiente conjetura: la media de las distancias a los lados es menor o igual que la mitad de la media de las distancias a los vértices, y solo hay igualdad cuando el triángulo es equilátero y uno se encuentra en su centro.
Según la conjetura de Erdős, para cualquier punto M interior del triángulo ABC, la media (MA’ + MB’ + MC’)/3 de las distancias de M a los lados del triángulo es a lo sumo igual a la mitad de la media (MA + MB + MC)/3 de las distancias a los vértices.
Precisamente en el caso del triángulo equilátero, sabemos desde 1649, gracias al teorema de Viviani, que la media de las distancias de un punto interior a los lados es constante. Si tomamos como punto interior M el centro de gravedad de los vértices, que coincide con el ortocentro, comprobamos fácilmente que esta constante es igual a un tercio de la altura. Otro resultado del 17.º siglo nos dice que la media de las distancias a los vértices alcanza su mínimo estricto en un punto llamado punto de Fermat (el único punto que forma ángulos de 120° con los vértices del triángulo), que, en el caso del triángulo equilátero, coincide con nuestro anterior punto M. Según la propiedad del centro de gravedad, este mínimo es igual a dos tercios de la altura y, por tanto, la conjetura queda demostrada en este caso.
