Una fuente inagotable de curiosidad para todo especialista en teoría de números es la sucesión de los números primos. Matemático excepcional donde los haya, Erdős no era una excepción en este aspecto. Recordemos que un número primo es un número entero que solo es divisible por 1 y por sí mismo. Por tanto, el número de individuos de un grupo es primo si resulta imposible formar varios equipos con el mismo número de miembros. Por esta razón, el número 1 no es primo. Hay un motivo esencial para ello: todo número entero mayor que 1 puede representarse de manera única como producto de números primos, salvo el orden de los factores; ahora bien, si el número 1 fuera primo, se podría añadir al producto una cantidad arbitraria de factores 1 y la representación dejaría de ser única.
Desde la noche de los tiempos, la estructura de la sucesión de números primos, 2, 3, 5, 7, 11, … intriga a la humanidad. Existen numerosas demostraciones de que el conjunto de los números primos es infinito, un resultado que ya se encuentra en Euclides (hacia −300). La más breve cabe en cuatro caracteres: n! + 1. En efecto, este número entero —donde n! designa el factorial de n, es decir, el producto de todos los enteros de 1 a n— no es divisible por ningún número inferior a n: su menor factor primo es, por tanto, estrictamente mayor que n. Como n puede ser arbitrariamente grande, queda demostrado.
Sobre la distancia entre dos números primos
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Demos un salto de tres milenios y medio: el matemático ruso Pafnouti Tchebychev (1821-1894) confirmó en 1851 la conjetura del francés Joseph Bertrand (1822-1900): entre un entero mayor que 1 y su doble siempre hay un número primo. La demostración de Tchebychev recurría a una técnica sofisticada. El primer artículo de Erdős, publicado a los 19 años, obtenía este resultado con una notable economía de medios.
