Nella giungla dei numeri interi si trovano molte specie. Si possono citare i numeri primi, da sempre affascinanti, i numeri perfetti, molto rari, i numeri deficienti e i numeri abbondanti, tra i quali figurano diverse famiglie che hanno attirato l’interesse di vari matematici, in particolare Erdős.
Perfetti e deficienti --------------------
Un numero perfetto è un numero intero uguale alla somma dei suoi divisori propri (tutti i divisori di n a eccezione di n stesso – ricordiamo che 1 fa parte dei divisori propri). I primi della serie sono i numeri 6, 28, 486, 8128.... Si verifica, per esempio, che 6 = 1 + 2 + 3 ; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, ecc. Attualmente se ne conosce solo un numero finito. I numeri perfetti pari sono legati ai numeri di Mersenne *Mp = 2 p – 1 che sono primi. Attualmente se ne conoscono cinquantadue. Infatti, Eulero (1707-1783) dimostrò che ogni numero perfetto pari è della forma Mp (Mp +1)/2 con Mp primo, il che richiede che p* sia primo. Quanto ai numeri perfetti dispari, si congettura… che non ne esistano! Se ne esistesse uno, dovrebbe essere maggiore di 101500 e avere più di cento fattori primi!
I numeri deficienti sono i numeri interi n per i quali la somma dei divisori propri è strettamente minore di n. I numeri primi sono tutti deficienti, poiché il loro unico divisore proprio è 1, ma non sono i soli: per esempio, 4, 8, 9, 10 e 14 sono anch’essi numeri deficienti. Sono quindi, naturalmente, in numero infinito. La loro densità, ossia la proporzione dei numeri deficienti tra tutti i numeri interi, è di poco superiore al 75%, secondo un risultato del 1998 dovuto al francese Marc Deléglise.
I numeri abbondanti sono i numeri interi che non sono né perfetti né deficienti, cioè gli interi n per i quali la somma dei divisori propri è strettamente maggiore di n. I primi sono 12, 18, 20, 24, 30, 36… Tutti i numeri abbondanti sono composti e, osservando i primi valori, si potrebbe pensare che siano tutti pari: non è così, e 945 è il più piccolo numero abbondante dispari. I numeri abbondanti sono naturalmente infiniti e la loro densità è di poco inferiore al 25%.