Paul Erdős e la visione probabilistica dell’aritmetica

I numeri primi ci incuriosiscono e ci affascinano fin dall’Antichità, forse perché sono dentro di noi, se si dà credito all’esperimento condotto da Karen Wynn nel 1992 su bambini tra i 5 e i 7 mesi. Fin dalla prima infanzia, il concetto di numero sembra radicato nel cervello umano.

Tra i numeri naturali figurano i numeri primi, quelli che, come 2, 3, 5, 7 o 2017, non sono divisibili per nessun altro numero. Nel 1922 Godfrey Hardy si rivolgeva così ai suoi colleghi fisici:

> «È il matematico ad avere il contatto più diretto con la realtà. […] 317 è un numero primo non perché lo pensiamo noi o perché la nostra mente è costituita in un certo modo, ma perché è così, perché la realtà matematica è fatta così.»

I primi risultati sui numeri primi si devono a Euclide (circa –300): ogni intero è rappresentabile come prodotto di numeri primi. Possiamo quindi vedere i numeri primi come i mattoni elementari di cui sono costituiti tutti gli altri interi. Inoltre, la scomposizione di un intero nei suoi fattori primi è unica; è anche per questo che, per convenzione e comodità, si esclude 1 dall’elenco dei numeri primi. Infine, Euclide dimostra che esistono infiniti numeri primi.

-

Contare, un’attività umana -----------------------------

Lo studio della successione dei numeri primi appassionò Paul Erdős per tutta la vita. Nato sulle rive del Danubio, a Budapest, il 26 marzo 1913, nel momento in cui le sue due sorelle maggiori, Magda e Clara, morirono per le conseguenze della scarlattina, Erdős fu educato soprattutto in casa dalla madre Anna, insegnante di matematica. Mantenne con lei, per tutta la vita, un rapporto simbiotico.

La sua produzione scientifica fu eccezionale: più di millecinquecento articoli e oltre cinquecento collaboratori, nella teoria dei numeri, nell’analisi combinatoria, nella teoria dei grafi, nella geometria dei numeri, nelle probabilità, nell’analisi matematica e nella teoria degli insiemi. Erdős non era soltanto curioso di tutto, ma anche estremamente generoso nel condividere le proprie idee; per lui la matematica era un bene comune.

Erdős aveva un dono particolare: cristallizzare tutta la difficoltà di un problema generale in una formulazione specifica. Ancora oggi si scopre con stupore che i suoi risultati, come pure i metodi da lui messi a punto, anche su problemi apparentemente molto specifici, sono in realtà estremamente profondi e fecondi. Morì nel 1996, solo in una camera d’albergo: ultimo paradosso per chi era sempre circondato da colleghi matematici.

A 18 anni Erdős iniziò le sue ricerche sotto la guida di Leopold Fejér (1880–1959). Si interessò al seguente problema, il celebre postulato di Bertrand, posto da Joseph Bertrand a metà del XIX^º secolo: esiste sempre un numero primo compreso tra un intero n e il suo doppio 2n? Nel 1850 Pafnutij Čebyšëv riuscì a confermare questa ipotesi mediante una dimostrazione tecnicamente difficile. Nel 1931 Erdős ne diede una dimostrazione più semplice e diretta. Fu il primo grande successo di questo giovanissimo matematico.

Una delle grandi questioni della teoria dei numeri è la seguente: quanti numeri primi minori di un dato numero x > 0 esistono? Indichiamo questo numero con p(x). Poiché non è stata trovata alcuna formula esatta, e utilizzabile, si è cercato più modestamente di approssimare p(x).

Sulla base di osservazioni euristiche, Adrien-Marie Legendre (1752–1833) e Carl Friedrich Gauss (1777–1855) avevano congetturato che p(x) fosse «vicino» a x / ln(x), dove ln indica il logaritmo naturale (vedi il nostro dossier sui logaritmi in questo numero). Se ne deduce una legge quantitativa di rarefazione dei numeri primi.

Nel 1896 la congettura fu finalmente dimostrata, indipendentemente, da Jacques Hadamard (1865-1963) e Charles-Jean de La Vallée-Poussin (1866-1962). Le due dimostrazioni proposte ricorrevano tuttavia all’analisi complessa. Sorse allora un'importante questione: si può trovare una dimostrazione «elementare» di questo risultato, nel senso che resti confinata all’analisi reale, senza mai ricorrere ai numeri complessi?

Nel 1949 Paul Erdős e Atle Selberg produssero una simile dimostrazione, chiarendo così i rispettivi ruoli dell’analisi complessa e dell’analisi reale: se, con Hadamard, si può ancora affermare che «la via più breve tra due quantità reali passa necessariamente per il piano complesso», non si può tuttavia stabilire una gerarchia tra le due teorie.

-

L’emergere delle probabilità -----------------------------

Nel 1934 il giovane Erdős lasciò l’Ungheria per recarsi a Cambridge. Vi incontrò Hardy e discusse con lui dei risultati ottenuti da quest’ultimo nel 1917 con il prodigio indiano Srinivasa Ramanujan (1887-1920). Hardy e Ramanujan si interessarono alla fattorizzazione di un intero «scelto a caso». Quanti fattori primi possiede questo intero? Ci si aspetta che un numero «scelto a caso» sia divisibile per 2 una volta su due, per 3 una volta su tre, per 5 una volta su cinque… Un tale intero sarà detto normale. In particolare, un numero normale non è né un quadrato né un numero primo.

Nel 1917 Hardy e Ramanujan pubblicarono un articolo che può essere considerato l’atto di nascita della teoria probabilistica dei numeri. Vi si trova il seguente risultato: in media, un intero possiede ln(ln n) fattori primi. Inoltre, questo valore medio è anche il valore normale. In altre parole, il numero di fattori primi di un intero «scelto a caso» dipende statisticamente soltanto dalla sua dimensione, cioè dal suo ordine di grandezza. È davvero spettacolare, e quanto mai controintuitivo!

Cinque anni dopo l’incontro con Hardy, nel 1939, Erdős si trovava negli Stati Uniti, a Princeton (New Jersey). Qui incontrò Marc Kac (1914-1984), un matematico di origine polacca convinto che il risultato di Hardy e Ramanujan celasse in realtà una legge gaussiana: secondo lui, la distribuzione dei fattori primi di un intero «scelto a caso» doveva seguire una curva di Gauss (vedi Tangente 149). Qualche mese più tardi Erdős e Kac dimostrarono questo risultato. Più precisamente, se F(n) indica il numero di fattori primi di n e se indichiamo con F la funzione di ripartizione gaussiana, definita da

allora, man mano che n cresce, la probabilità che F(n) sia inferiore a t tende a F(t). Erdős e Kac misero in evidenza un modello della curva di Gauss a partire dai soli numeri interi! I numeri naturali mostrano dunque comportamenti che possono essere descritti naturalmente mediante leggi probabilistiche classiche introdotte in contesti estranei alla teoria dei numeri…

Ci si può allora chiedere quali fenomeni probabilistici siano modellizzabili a partire dalla sola struttura moltiplicativa dei numeri interi. Il moto browniano, descrivibile in prima approssimazione come il moto, in un fluido, di una particella che sarebbe sottoposta soltanto agli urti con le piccole molecole del fluido, è un oggetto probabilistico fondamentale. Anch’esso rientra in una modellizzazione basata sulla distribuzione dei divisori degli interi.

$\mathrm{\Phi }(t)\backslash Phi\; (t)$ misura l’area

-

Idee di grande attualità --------------------------------

Nel 1946 Erdős ottenne un altro risultato sbalorditivo, ancora studiando la scomposizione in fattori primi di un intero n normale. Scrivendo n = p₁ p₂ … *p_k, dove p*₁ ≤ p₂ ≤… ≤ *p_k indicano i fattori primi, allora ln(ln p_j ) è «vicino» a j (per 1 ≤ j ≤ k). È quasi incredibile: perché il dodicesimo fattore primo di un intero normale n dovrebbe essere «vicino» a ln (ln 12)? Appare così che l’intima struttura moltiplicativa di n* dipenda statisticamente soltanto dalla sua dimensione!

Le idee probabilistiche nate dai risultati di Hardy-Ramanujan e di Erdős-Kac hanno alimentato fino a oggi tutta la ricerca nel campo della teoria probabilistica dei numeri. La celebre congettura, tuttora aperta, dei numeri primi gemelli, secondo la quale esistono infiniti numeri primi p tali che p + 2 sia anch’esso un numero primo, è stata recentemente scossa. Nel 2013, in un articolo virtuoso, Yitang Zhang mostrò (vedi Tangente 153) che esistono infinite coppie di numeri primi (p, q) tali che la differenza | p – q | sia inferiore a 70 000 000. Qualche mese più tardi, James Maynard e, indipendentemente, Terence Tao semplificarono la dimostrazione. Il progetto collaborativo Polymath8 ha poi permesso di ridurre la soglia di 70 000 000 a 246… valore che resta però ancora lontano dal 2 congetturato, e che si ha motivo di ritenere resterà irraggiungibile finché non saranno introdotte altre idee nuove.