La storia del teorema cinese dei resti comincia… in Cina, sotto forma di enigmi. Il seguente enigma è dovuto al matematico e astronomo Sun Zi, vissuto tra il 3º e il 5º secolo della nostra era (da non confondere con il generale Sun Zi):
> «Quando il generale Han Xing schiera i suoi soldati a gruppi di tre, ne avanzano due; quando li schiera a gruppi di cinque, ne avanzano tre e quando li schiera a gruppi di sette, ne avanzano due. Quanti soldati conta l’esercito di Han Xing?»
Dietro l’aspetto ludico si nasconde un problema di aritmetica legato alla divisibilità. Senza risolverlo ancora, si può osservare che, se ha una soluzione, se ne ottiene un’altra aggiungendo 105 soldati, poiché 105 è multiplo di 3, 5 e 7; iterando questa osservazione si ottengono infinite soluzioni. Ne deduciamo che, se esiste una soluzione, ce n’è una compresa tra 1 e 105. L’enigma è dunque potenzialmente risolto, poiché basta allora provare un numero finito di valori!
Tuttavia, questo procedimento è laborioso e poco illuminante. È preferibile rispondere separatamente alle tre condizioni poste. Affinché avanzino due soldati quando li si raggruppa per tre, l’effettivo totale deve essere uno dei numeri 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29… Affinché ne avanzino tre quando li si raggruppa per cinque, l’effettivo deve essere uno dei numeri 3, 8, 13, 18, 23, 28… Infine, affinché ne avanzino due quando li si raggruppa per sette, l’effettivo totale deve essere uno dei numeri 2, 9, 16, 23, 30… Il numero 23 appartiene alle tre successioni: è quindi una soluzione del problema, e la più piccola. Le altre sono 128, poi 233, e così via aggiungendo ogni volta 105. Questo procedimento è già più chiaro, ma possiamo addentrarci ulteriormente nei meccanismi della questione. A questo scopo, è utile introdurre una nuova visione dei numeri: quella dell’aritmetica modulare.
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