I criteri di divisibilità sembrano potersi elaborare a piacere. Limitiamoci a quelli incontrati nelle pagine precedenti e proviamo a vedere come usarli in alcuni piccoli problemi di aritmetica.
La successione di Fibonacci rivisitata
Cominciamo, come è giusto, dalla successione di Fibonacci, che inizia con 0, poi 1, e nella quale ogni termine è la somma dei due precedenti. La successione si costruisce dunque termine dopo termine: 0, 1, 1 (= 1 + 0), 2 (= 1 + 1), 3 (= 1 + 2), 5 (= 2 + 3), 8 (= 3 + 5), 13 (= 5 + 8)…
Partiamo dal primo termine, moltiplichiamolo per 10 e aggiungiamo il secondo. Moltiplichiamo per 10 il risultato ottenuto e aggiungiamo il terzo. Proseguiamo così. Si ottengono successivamente 1, 11, 112, 1 123, 11 235, 112 358, 1 123 593… Continuando compaiono numeri grandi, la cui scrittura è periodica (blocchi di cifre si ripetono uno dopo l’altro). Non esitate a proseguire il procedimento per convincervene. Di quante cifre è composto, come minimo, un periodo?
Indichiamo con (Ni)i ≥0 i termini successivi della successione di Fibonacci. Si ha N0 = 0, N1 = 1, N2 = 1 e Ni+2 = Ni+1 + Ni quando i ≥ 0. Ora, 89 (10–2 × N1 + 10–3 × N2 + 10–4 × N3) è uguale a 100 (10–2 N1 + 10–3 N2 + 10–4 N3 +…) – 10 (10–2 N1 + 10–3 N2 + 10–4 N3 + …) – (10–2 N1 + 10–3 N2 + 10–4 N3 + …), ovvero N1 + (N2 – N1)10–1 + (N3 – N2 – N1)10–4 + … Quest’ultima quantità vale semplicemente 1 + 0 + 0 + …, cioè 1. In altre parole, la scrittura dei grandi numeri ottenuti inizia con le parti intere dei prodotti delle grandi potenze di 10 per 1 / 89 = 0,0112359550… Il problema posto consiste dunque nel cercare il più piccolo intero p tale che (10p – 1) sia divisibile per 89.
