Pueden elaborarse criterios de divisibilidad a voluntad. Contentémonos con los que hemos encontrado en páginas anteriores e intentemos ver cómo aplicarlos a algunos pequeños problemas aritméticos.
La sucesión de Fibonacci revisitada
A todo señor, todo honor: comencemos por la sucesión de Fibonacci, que comienza con 0, seguido de 1, y en la que cada término es la suma de los dos anteriores. La sucesión se construye, por tanto, elemento a elemento: 0, 1, 1 (= 1 + 0), 2 (= 1 + 1), 3 (= 1 + 2), 5 (= 2 + 3), 8 (= 3 + 5), 13 (= 5 + 8)…
Partamos del primer término, multipliquémoslo por 10 y sumemos el segundo. Multipliquemos por 10 el resultado obtenido y sumemos el tercero. Sigamos así. Obtenemos sucesivamente 1, 11, 112, 1 123, 11 235, 112 358, 1 123 593… Al continuar, aparecen números grandes cuya escritura es periódica (bloques de cifras se repiten uno tras otro). No dudéis en prolongar el procedimiento para convenceros. ¿Cuántas cifras tiene como mínimo un período?
Designemos por (Ni)i ≥0 los términos sucesivos de la sucesión de Fibonacci. Tenemos N0 = 0, N1 = 1, N2 = 1, y Ni+2 = Ni+1 + Nicuando i ≥ 0. Ahora bien, 89 (10–2 × N1 + 10–3 × N2 + 10–4 × N3) es igual a 100 (10–2 N1 + 10–3 N2 + 10–4 N3 +…) – 10 (10–2 N1 + 10–3 N2 + 10–4 N3 + …) – (10–2 N1 + 10–3 N2 + 10–4 N3 + …), es decir, a N1 + (N2 – N1)10–1 + (N3 – N2 – N1)10–4 + … Esta última cantidad vale sencillamente 1 + 0 + 0 + …, es decir, 1. Dicho de otro modo, la escritura de los grandes números obtenidos empieza por las partes enteras de los productos de grandes potencias de 10 por 1 / 89 = 0,0112359550… El problema planteado equivale, por tanto, a buscar el menor entero p tal que (10p – 1) sea divisible por 89.
