Conocer los divisores… sin dividir

Sabemos, desde la escuela primaria, reconocer si un número es divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 u 11. En cambio, con divisores como 7, 13, 17, 23, 29… o incluso 271, parece una acrobacia de altos vuelos. Sin embargo, hay formas de conseguirlo. Repasemos, de los más sencillos a los más complicados, los criterios de divisibilidad en el reino de los números enteros. Ahora bien, cuando hablamos de divisibilidad, la noción de congruencia (véase el recuadro) facilita muy a menudo la tarea.

¿Ha dicho «congruencias»?

La propia existencia del número r permite definir, en el conjunto ℤ de los números enteros, una relación de equivalencia: se dice que a y a’ son equivalentes si tienen el mismo resto al dividir por b. También se dice que «a es congruente con a’ módulo b», lo que se escribe a ≡ a’ [ b ]. Así se obtiene una partición de $m a t h b b Z$ en b partes disjuntas llamadas clases, las correspondientes a los b restos posibles al dividir por b. Cada clase corresponde a un valor del resto, de 0 a b – 1; se denotan por $d o t 0, d o t 1, d o t 2 \hat{a} ¦ d o t (b - 1) . {dot{0},dot{1},dot{2}â¦dot{(b-1)}}.$

La relación «es congruente con» es compatible con la suma, la resta, la multiplicación y la elevación a una potencia.

La aplicación que asocia a cada número entero su valor módulo b es un homomorfismo; es decir, el resto de la suma de dos números es congruente, módulo b, con la suma de sus restos; del mismo modo, el resto de un producto es congruente, módulo b, con el producto de los restos.

En particular, la noción de divisibilidad se expresa mediante el vocabulario de las congruencias: «a es divisible por b» equivale a decir que el resto de dividir a por b es nulo, lo que se escribe a ≡ 0 [ b ].

Cuando b es un número primo, aparecen nuevas propiedades. Todo elemento N no congruente con 0 admite un inverso para la multiplicación; es decir, un número, considerado módulo b, que, multiplicado por N, da un número congruente con 1 módulo b. Por ejemplo, si b = 5, se comprueba fácilmente que 1 y 4 son sus propios inversos: 1 $d G l t Z X M =$ 1 ≡ 1 [5], 4 $d G l t Z X M =$ 4 ≡ 16 ≡ 1 [5]. Del mismo modo, 2 y 3 son inversos entre sí: 2 $d G l t Z X M =$ 3 ≡ 6 ≡ 1 [5].

¡Repase los clásicos!

Para saber si un número entero es divisible por 2 o por 5, ni siquiera hacen falta las propiedades de las congruencias. Un número N es divisible por 2 si su cifra de las unidades u es par. En efecto, si separamos de N la cifra de las unidades u y llamamos d a N privado de esa cifra, entonces N = 10 d + u. Como 10 es múltiplo de 2, N es divisible por 2 si y solo si lo es u, es decir, si es par.

Lo mismo ocurre con la divisibilidad por 5. Como 10 también es múltiplo de 5, N es divisible por 5 si y solo si lo es u, es decir, si vale 0 o 5. En el vocabulario de las congruencias, N ≡ u \[2\] y N ≡ u \[5\]. Por tanto, la divisibilidad de N por 2 o por 5 se reconoce por la de su cifra de las unidades.