Cuando 60 divide a 9

Para hablar de divisibilidad, es indispensable considerar un conjunto, el de los números con los que trabajamos, provisto de dos operaciones: la suma y la multiplicación. Sin embargo, esto no basta si se quieren evitar ciertas trampas (véase FOCUS). Veamos un ejemplo bien conocido, en el que intervienen los números decimales. Entre los números reales, son aquellos que poseen una expresión decimal finita. Así, 1/5 = 0,2 es uno de ellos. En cambio, 1/3 = 0,333… no es, en este sentido, un número decimal. Todos ellos pueden expresarse en forma de fracción: si un número de este tipo u se expresa con un número finito n de cifras decimales, al multiplicarlo por 10ⁿ obtenemos un número entero a y, por tanto, u = a / 10ⁿ ; a la inversa, todo número de esta forma es decimal. Pero no toda fracción es necesariamente un número decimal (pensemos en 1/3).

Podemos definir en el conjunto D de los números decimales la noción de divisibilidad como se hace habitualmente para los números enteros, diciendo que el número decimal a divide al número decimal b si existe un número decimal c tal que b = a × c. Como los números enteros son números decimales, deducimos que, para dos números enteros a y b, si a divide a b en el sentido habitual, esta propiedad sigue siendo cierta en el universo de los números decimales. Sin embargo, el recíproco es falso: 2 divide a 3 (puesto que 3 = 2 × 1,5), e incluso 60 divide a 9 (puesto que 9 = 60 × 0,15).

En el conjunto $\mathbb{Z}\backslash mathbb\{Z\}$ de los números enteros, solo 1 y – 1 son invertibles. Para cualquier otro número entero no nulo n, la fracción 1 / n no define un número entero. En cambio, en D hay infinitos elementos que poseen esta propiedad. Por ejemplo, todos los números de la forma ± 2ⁿ5^p, donde n y p designan números enteros, son invertibles; de hecho, son los únicos si n y p varían en $\mathbb{Z}\backslash mathbb\{Z\}$. Diremos que dos números decimales a y b son asociados si existe un número decimal invertible u tal que a = b × u. El interés de esta definición es que dos números asociados desempeñan exactamente el mismo papel con respecto a la divisibilidad; en particular, poseen los mismos divisores.