Nuestra forma de escribir un número entero M mediante las diez cifras consiste en descomponer M en función de potencias de 10. Por ejemplo, escribimos 216 = 6 + 1 × 10 + 2 × 102. Esto parece evidente, pues conocemos 216 por su escritura: el sistema de numeración posicional, que debemos a los matemáticos indios y árabes, utiliza esta descomposición para escribir los números. En realidad, estas cifras 6, 1 y 2 se obtienen mediante un algoritmo muy sencillo: 6 es el resto de dividir 216 entre 10 (más precisamente, 216 = 6 + 21 × 10). Del mismo modo, 1 es el resto de la división euclídea de 21 entre 10 (puesto que 21 = 1 + 2 × 10). Por último queda 2, que es estrictamente menor que 10; el proceso se detiene.
El arte de escribir los números
El algoritmo puede aplicarse sustituyendo 10 por cualquier otro número entero p mayor o igual que 2. Tomemos, por ejemplo, p = 5 y descompongamos así M = 216. Tenemos 216 = 1 + 5 × 43, después 43 = 3 + 8 × 5 y, por último, 8 = 3 + 1 × 5; como 1 es estrictamente menor que 5, el proceso se detiene. Del mismo modo que la sucesión (6, 1, 2) de restos representaba 216 en base 10, (1, 3, 3, 1) lo representa en base 5 y, por tanto, 216 = 1 + 3 × 5 + 3 × 52 + 1 × 53. Descompongamos ahora 216 para p = 3; obtenemos la sucesión (0, 0, 0, 2, 2); los tres primeros ceros prueban que 216 es divisible por 33. Con p = 2 obtenemos la sucesión (0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1); asimismo, 216 es divisible por 8 = 23, lo que explica los tres primeros ceros. Fijado el número entero p ≥ 2, todo número positivo M puede descomponerse así (y, recíprocamente, a toda sucesión finita de números enteros estrictamente menores que >p le corresponde uno de esos números; puede comprobarse considerando la escritura de los números en base 10).
Una vez escritos los números enteros positivos, se procede mediante dos extensiones sucesivas. La primera consiste en escribir los números decimales exactos, es decir, aquellos que, multiplicados por cierta potencia de 10, dan un número entero; se escriben colocando una coma después de la parte entera. Al añadir después de la coma una infinidad de cifras, se definen nuevos números: los números reales, como límites de números decimales exactos.