Nuestra manera de representar un número entero M mediante las diez cifras equivale a descomponer M en función de las potencias de 10. Por ejemplo, escribimos 216 = 6 + 1 × 10 + 2 × 102. Esto parece evidente, pues conocemos 216 por su escritura: el sistema de numeración posicional, que debemos a los matemáticos indios y árabes, utiliza esta descomposición para representar los números. En realidad, estas cifras 6, 1 y 2 se obtienen mediante un algoritmo muy sencillo: 6 es el resto de dividir 216 entre 10 (más precisamente, 216 = 6 + 21 × 10). Del mismo modo, 1 es el resto de la división euclídea de 21 entre 10 (pues 21 = 1 + 2 × 10). Por último queda 2, que es estrictamente menor que 10; el proceso se detiene.
El arte de representar los números
El algoritmo puede realizarse sustituyendo 10 por cualquier otro número entero p mayor o igual que 2. Tomemos, por ejemplo, p = 5 y descompongamos así M = 216. Tenemos 216 = 1 + 5 × 43, después 43 = 3 + 8 × 5 y, por último, 8 = 3 + 1 × 5; como 1 es estrictamente menor que 5, el proceso se detiene. Al igual que la sucesión (6, 1, 2) de restos representaba 216 en base 10, (1, 3, 3, 1) lo representa en base 5, y por tanto 216 = 1 + 3 × 5 + 3 × 52 + 1 × 53. Descompongamos ahora 216 para p = 3; obtenemos la sucesión (0, 0, 0, 2, 2); los tres primeros ceros prueban que 216 es divisible por 33. Con p = 2, obtenemos la sucesión (0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1); asimismo, 216 es divisible por 8 = 23, lo que explica los tres ceros iniciales. Fijado el número entero p ≥ 2, todo número positivo M puede descomponerse de este modo (y, recíprocamente, a toda sucesión finita de números enteros estrictamente menores que p le corresponde tal número; puede comprobarse considerando la escritura de los números en base 10).
Una vez representados los números enteros positivos, procedemos mediante dos ampliaciones sucesivas. La primera consiste en representar los decimales, es decir, aquellos que, multiplicados por cierta potencia de 10, dan un número entero; se representan colocando una coma tras la parte entera. Al añadir después indefinidamente cifras tras la coma, se definen nuevos números: los reales, como límites de números decimales.
