Los números constituyen la base de las matemáticas. Los números naturales se introdujeron para resolver problemas de recuento, y después se estudiaron otros números para resolver problemas cada vez más variados y profundos. Ahora bien, el concepto de número, aparentemente combinatorio y aritmético, admite una interesante interpretación geométrica gracias a la recta numérica.
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Extensiones de los números naturales
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Los números naturales (1, 2, 3…) permiten contar objetos sin atender a sus propiedades particulares. Según una cita del matemático Leopold Kronecker (1823-1891), «Dios creó los números enteros; los hombres hicieron el resto». Si se suman o multiplican dos números naturales, el resultado sigue siendo un número natural. Pero las dos operaciones fundamentales de la suma y la multiplicación solo pueden invertirse con severas restricciones; por ejemplo, la sustracción 1 – 2 o la división sin resto no tienen sentido cuando nos limitamos a los naturales. Al crear, por una parte, el cero y los números enteros negativos y, por otra, los números fraccionarios, se liberaron la sustracción y la división de sus ataduras, con la salvedad de que la división por 0 sigue careciendo de significado. Los números racionales son, por tanto, los números enteros o fraccionarios, positivos, nulos o negativos. Cada uno de ellos puede escribirse en la forma a0,a1a2a3… , donde a0 designa un número entero (con signo), mientras que a1, a2, a3… son cifras decimales, de modo que la coma separa la parte entera de la parte decimal. La representación decimal de todo número racional es finita (en el sentido de que comprende un número finito de cifras decimales) o infinita y periódica. Los números racionales obedecen las reglas conocidas del álgebra (forman un cuerpo conmutativo totalmente ordenado).
Por desgracia, no hay suficientes números racionales para satisfacer todas las necesidades de los matemáticos. Por eso se introdujeron los números irracionales, que admiten una representación decimal infinita y no periódica. Los números reales están formados por todos los números racionales e irracionales. Por tanto, cada uno de ellos admite una representación decimal, finita o infinita (periódica o no). Muy utilizados en el análisis clásico, son tan numerosos como los puntos de una recta y se manipulan algebraicamente como los racionales (también forman un cuerpo totalmente ordenado, que engloba además al de los racionales, pero que esta vez es completo en un sentido muy preciso).
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Hiperreales y otros números no estándar
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No existe ningún número real estrictamente positivo que sea menor que todos los demás números reales estrictamente positivos (si existiera un número real a de ese tipo, tendríamos el absurdo a < a / 2). Para colmar esta laguna, que resulta útil para resolver problemas planteados en análisis, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) y sus sucesores emplearon números no reales llamados infinitamente pequeños positivos: son, en efecto, estrictamente positivos, pero menores que cualquier número real estrictamente positivo; podemos tomar su opuesto, lo que da infinitamente pequeños negativos, o su inverso, que proporciona números infinitamente grandes (es decir, mayores que cualquier número real). También podemos sumarlos a un número real x cualquiera para formar números infinitamente próximos a x. La existencia de todos estos nuevos números fue justificada por el matemático canadiense Abraham Robinson en el 20.º siglo (véase Tangente 149); en efecto, en la década de 1960 los construyó realmente mediante un razonamiento riguroso, aunque bastante sofisticado (utilizando el concepto matemático de ultrafiltro).
Estos números infinitamente pequeños (positivos o negativos), infinitamente grandes (positivos o negativos) e infinitamente próximos a un número real forman, junto con todos los reales, el conjunto de los números hiperreales. Se manipulan algebraicamente con las mismas reglas de cálculo que los reales (también forman un cuerpo conmutativo totalmente ordenado que engloba al de los reales) y constituyen la base del análisis llamado no estándar. Un alumno de Robinson, Albert Harold Lightstone (1926–1976), estableció que el número 0,999…, cuya parte entera es nula y que se escribe con un número infinitamente grande de cifras decimales, todas ellas iguales a 9, tiene la propiedad de que la diferencia 1 – 0,999… es un infinitamente pequeño positivo; este resultado confirma la creencia intuitiva, presente en muchos principiantes de análisis, de que 0,999… es «un poco más pequeño» que 1.
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Dígalo con rectas
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Consideremos ahora una recta determinada por dos de sus puntos, X y X'. Puede recorrerse en dos sentidos opuestos. Convenimos en elegir uno, de X' hacia X, llamado sentido positivo; el otro recibe, naturalmente, el nombre de negativo. El sentido positivo se materializa mediante una flecha situada sobre la propia recta, que pasa entonces a llamarse eje orientado. A continuación, fijamos una unidad de longitud u para medir los segmentos situados sobre el eje. No obstante, la medida de cualquier segmento \[AB\] recibe el signo + o – según que \[AB\] se recorra de A hacia B en el sentido positivo o negativo del eje; de este modo se asigna al segmento una medida algebraica, .
En este ejemplo, y
Elegimos arbitrariamente un punto O sobre la recta (X'X); será el origen del eje. Se le asigna la medida 0. Asociamos el número 1 al punto situado en el extremo del segmento que parte del origen y cuya medida algebraica es igual a 1, y el número – 1 a su simétrico respecto de O. Después atribuimos el número 2 al extremo del segmento que parte de O y cuya medida algebraica es 2 y, naturalmente, – 2 a su simétrico respecto de O. Si continuamos de este modo, todos los números enteros positivos y negativos quedan representados por puntos equidistantes sobre el eje orientado: los positivos a un lado del origen y los negativos al otro. Estos puntos pueden llamarse enteros e identificarse con los números enteros (con signo).
Del mismo modo, podemos dar una interpretación geométrica a los números fraccionarios de denominador igual al número natural n. Basta con dividir en n partes iguales cada segmento de longitud unidad situado entre dos enteros consecutivos: los puntos de subdivisión, junto con los puntos enteros, forman los llamados puntos racionales. Cada uno de ellos queda entonces caracterizado de manera unívoca por un número racional.
Un número racional a es menor que otro número racional b si y solo si el punto que representa a a se sitúa «a la izquierda» del punto asociado a b. Así pues, el orden natural de los números coincide perfectamente con el de los puntos correspondientes sobre el eje orientado. Además, los puntos racionales son densos en la recta (X'X), lo que significa que todo segmento del eje que no se reduzca a un punto, por pequeña que sea su longitud, contiene puntos racionales.
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Agujeros por todas partes
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Aunque a cada número racional le corresponde uno y solo un punto racional del eje, ¡el recíproco no es cierto! Dicho de otro modo, los puntos racionales no «llenan» la recta en cuestión. En efecto, los geómetras de la Antigüedad griega demostraron que existen puntos P del eje para los que la longitud del segmento \[OP\] es inconmensurable con la unidad de longitud u, en el sentido de que estas dos magnitudes no tienen una «medida común». Numéricamente, esto se traduce en que la medida algebraica no es un número racional. Es el caso, por ejemplo, del punto P situado en el extremo de la diagonal \[OP\] de un cuadrado de lado igual a la unidad u y dispuesto como en la figura.
Según el teorema de Pitágoras, OP2 = 2. Podemos entonces asociar al punto P el número √2, solución positiva de la ecuación x2 = 2. Este número no es racional.
De forma más general, al asociar a cada punto no racional de la recta (X'X) un único número, llamado irracional, todo punto del eje queda caracterizado por uno y solo un número racional o irracional. Este número se llamará la abscisa del punto en cuestión. Así, todo punto del eje queda caracterizado por una abscisa real (única), es decir, racional o irracional. En total, habrá exactamente tantos números reales como puntos en la recta. Además, los números y los puntos pueden, en cierto modo, «identificarse». El eje (X'X) recibe naturalmente el nombre de recta numérica real.
Pero el conjunto de los números reales está incluido en el de los números hiperreales. Por tanto, parece bastante natural intentar representar geométricamente estos últimos a partir de la recta numérica real.
Para empezar, los hiperreales no reales no pueden localizarse directamente sobre el eje (X'X), pues los puntos de esta recta corresponden exactamente a los números reales. Sin embargo, podemos imaginar virtualmente algunos hiperreales utilizando una «lupa infinitamente potente» enfocada en el origen de la recta clásica. Este experimento mental permite descubrir números invisibles a simple vista (y, por tanto, no reales), pero infinitamente pequeños por ser infinitamente próximos a 0. Forman el halo de 0. En la figura siguiente, el halo de 0 se representa simbólicamente mediante dos tipos de antenas situadas sobre el origen O de la recta real y que contienen los números infinitamente pequeños menores o mayores que 0. En esa misma figura observamos también lo que se obtiene al desplazar la lupa para centrarla en un número real r cualquiera: aparecen entonces números no reales infinitamente próximos a r, como los números r +
y r – , que forman el halo de r.
Además, existen hiperreales infinitamente grandes, positivos o negativos. No pueden observarse a simple vista sobre la recta numérica real, pero podemos imaginarlos mediante unos «prismáticos infinitamente potentes orientados hacia la derecha o hacia la izquierda, hasta donde sea posible». De este modo, podemos representarnos mentalmente números infinitamente grandes positivos o infinitamente grandes negativos, respectivamente, como los números 1 / y – 1 / , donde es un infinitamente pequeño.
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En definitiva, el uso de lupas o prismáticos infinitamente potentes permite representar virtualmente los números hiperreales asociados a los puntos de lo que podríamos llamar una recta numérica hiperreal. Esta está formada por los puntos de la recta numérica real, cada uno de ellos acompañado de todo un halo de puntos infinitamente próximos, así como por los puntos «infinitamente alejados» situados hacia la derecha o hacia la izquierda.
