Naturalmente, los infinitésimos no son números reales. Junto con estos últimos, forman el conjunto de los números hiperreales, en cuyo marco se desarrolla esta nueva presentación del análisis, iniciada por el canadiense Abraham Robinson (véase Tangente 149).
Veamos, con un ejemplo elemental, cómo calcular una derivada en análisis no estándar (se trata, en esencia, aunque expresado en lenguaje moderno, del procedimiento que Fermat utilizó para hallar un máximo). Nos proponemos calcular la derivada de la función definida por f ( x ) = *x 2. Sean x un número real arbitrario y ε un infinitésimo. Consideramos f ( x + ε ), es decir, *x 2 + 2ε x +ε 2, un número infinitamente próximo a *x 2: los dos números son «casi iguales» (Fermat escribía que existe una «adegalidad» entre ellos). Su diferencia es infinitesimal. A continuación, dividimos esta diferencia por ε; el cociente de ambos infinitésimos es igual a 2 x + ε y, por tanto, es infinitamente próximo a 2 x. Para obtener una igualdad exacta, tomamos el único número real infinitamente próximo al cociente en cuestión: es 2 x. Técnicamente, se dice que es la parte estándar del cociente.
Así, siempre que exista, la derivada de una función f en x es la parte estándar de
donde ε designa un infinitésimo.
