Nuestro cerebro funciona mediante redes de células. Unas entidades aún mal definidas, las neuronas, están interconectadas por inextricables redes de sinapsis. Cada neurona se comunica con otras diez mil y cada red de neuronas y sinapsis corresponde a un concepto. Una de las consecuencias de esta organización es que nuestros modos de pensamiento son sistemáticamente lineales. También lo son los modelos generados por nuestros cerebros. En consecuencia, las matemáticas están repletas de representaciones lineales —correspondientes sobre todo al «grado 1» del álgebra y al concepto de «recta» en geometría—, ya sea en forma de sistemas de ecuaciones o del álgebra del mismo nombre, por no hablar de los modelos de ajuste estadístico, que son primordial y mayoritariamente lineales. Pero habría que ser ingenuo para imaginar que lo lineal puede bastar para modelizar la complejidad de las situaciones que se quieren describir. Los matemáticos aspiran a descubrir nuevos modos de pensamiento para desarrollar las matemáticas del mañana. La noción de derivada es un primer paso para salir de lo lineal… aunque siga siendo lineal localmente. En efecto, la derivada puede verse como una tasa de variación en el entorno de un punto. Así, al considerar incrementos Δx «suficientemente pequeños» para que el cociente estudiado no «difiera demasiado» del valor de la derivada, podemos escribir, para una función f derivable en x0:
f(x0+Δx)≃f(x0)+f′(x0)Δxf(x_0+\Delta x)\simeq f(x_0)+f'(x_0)\Delta x
para x = x0 + Δ x, es decir, una expresión de la forma a + b Δ x, donde a y b son constantes. Por tanto, una función derivable en un punto es localmente lineal. Este concepto se utiliza mucho en el análisis no estándar: los incrementos Δx se convierten en infinitesimales, que pueblan el halo de los números infinitamente próximos a 0. Intuitivamente, una función derivable vista al microscopio es una recta. La potencia del microscopio corresponde al concepto más clásico de entorno.
Un paseo a cara o cruz ----------------------------
¿Y si estudiamos fenómenos temporales? Si consideramos t0 como el instante presente, el signo de Δt distinguirá el pasado (Δt < 0) del futuro (Δt > 0). Al suponer que un fenómeno es derivable, suponemos en realidad que la derivada de su función existe cualquiera que sea la sucesión de incrementos temporales Δt considerada. ¡Pero solo el pasado es observable! Por tanto, solo podemos medir f (t) para valores negativos de Δt. Sin embargo, bajo la hipótesis de derivabilidad, eso basta para estimar el valor de la derivada de f en t0. El conocimiento del pasado basta para determinar f ’(t0 ), y el del presente permite medir f (t0 ). Por tanto, pasado y presente bastan para proporcionar una descripción local de la evolución futura del fenómeno: