Un extremo local apenas tiene significado: por lo general, solo importa el extremo global. Sin embargo, algunos autores se conforman con anular la derivada de una función de una variable para obtener, según ellos, el extremo global buscado (lo cual no basta para demostrarlo).
Sin embargo, hay situaciones en las que no existe distinción entre extremos locales y globales. El siguiente resultado, bautizado teorema de la despreocupación por el profesor François Jongmans (Universidad de Lieja), lo demuestra: si la función real f , definida y continua en el intervalo I, presenta en el interior de I un único extremo local, entonces este es un extremo global estricto del mismo tipo para f en I, mientras que un extremo del tipo contrario solo puede alcanzarse, si existe, en un extremo de I.
Tomemos, por ejemplo, la función cúbica definida por f (x) = 3*x 2 – *x 3. El estudio local proporciona un máximo local (de valor 4, alcanzado para x = 2) y un mínimo local (de valor 0 en x = 0). En cambio, el estudio global depende en gran medida del intervalo I en el que trabajemos. El teorema de la despreocupación permite afirmar que el máximo global de f en [1, 3] vale 4 y se alcanza en el único máximo local situado en I, mientras que el mínimo vale 2 y se alcanza en el extremo inferior 1 de I. En cambio, si ampliamos el intervalo considerado, el máximo de f pronto pasa a ser mayor que 4…
Por desgracia, el teorema de la despreocupación no se extiende a las funciones de varias variables. Entonces hay que recurrir a propiedades relacionadas con la convexidad (o la concavidad) de la función estudiada para obtener, bajo ciertas hipótesis, un paso automático del problema local al global.
