De camino a las vacaciones, toma un tramo de autopista a las 9:00. Sale de él dos horas después, tras haber recorrido doscientos cuarenta kilómetros. Es tentador afirmar que ha circulado a 120 km/h, pero ese valor no es más que una velocidad media. Por supuesto, no ha superado los límites permitidos. Sin embargo, su velocidad seguramente no ha sido constante. Por cierto, ¿a qué corresponden exactamente las velocidades que indica el cuadro de instrumentos?
Para concretar, fijémonos en la velocidad indicada a las 10:00. El cálculo de una velocidad media, como se aprende desde pequeños, consiste en dividir la distancia recorrida entre el tiempo. Por tanto, este procedimiento no permite obtener directamente la velocidad del vehículo justo a las 10:00. En cambio, podemos calcular la velocidad media entre las 9:00 y las 10:00, después entre las 9:30 y las 10:00, luego entre las 9:50 y las 10:00, y finalmente entre las 9:59 y las 10:00… reduciendo así cada vez más el intervalo de tiempo considerado. Evidentemente, si el intervalo de tiempo se hace «cada vez más pequeño», también disminuye la distancia recorrida, pero lo que aquí nos interesa es la razón entre ambas magnitudes o, como escribió Isaac Newton, «el cociente último de dos incrementos evanescentes».
La velocidad instantánea, obtenida de este modo, corresponde en matemáticas al concepto de derivada.
Hacia una generalización -----------------------
El cálculo de la velocidad instantánea de un automóvil puede generalizarse sin demasiada dificultad al estudio de las funciones más habituales. Sea una función f definida en el conjunto de los números reales e intentemos calcular su derivada en x = 10.